The list of length 21 whose i-th entry is the enumerating function for the area under Dyck paths of length i-1 is [ 4 2 9 7 5 3 [1, 0, q, 0, q + q , 0, q + q + 2 q + q , 0, 16 14 12 10 8 6 4 25 23 q + q + 2 q + 3 q + 3 q + 3 q + q , 0, q + q 21 19 17 15 13 11 9 7 + 2 q + 3 q + 5 q + 5 q + 7 q + 7 q + 6 q + 4 q 5 36 34 32 30 28 26 24 + q , 0, q + q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q + 9 q 22 20 18 16 14 12 10 + 11 q + 14 q + 16 q + 16 q + 17 q + 14 q + 10 q 8 6 49 47 45 43 41 39 + 5 q + q , 0, q + q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q 37 35 33 31 29 27 25 + 11 q + 13 q + 18 q + 22 q + 28 q + 32 q + 37 q 23 21 19 17 15 13 11 + 40 q + 44 q + 43 q + 40 q + 35 q + 25 q + 15 q 9 7 64 62 60 58 56 54 + 6 q + q , 0, q + q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q 52 50 48 46 44 42 40 + 11 q + 15 q + 20 q + 26 q + 34 q + 42 q + 53 q 38 36 34 32 30 28 + 63 q + 73 q + 85 q + 96 q + 106 q + 113 q 26 24 22 20 18 16 + 118 q + 118 q + 115 q + 102 q + 86 q + 65 q 14 12 10 8 81 79 77 75 + 41 q + 21 q + 7 q + q , 0, q + q + 2 q + 3 q 73 71 69 67 65 63 61 + 5 q + 7 q + 11 q + 15 q + 22 q + 28 q + 38 q 59 57 55 53 51 49 + 48 q + 63 q + 77 q + 97 q + 116 q + 139 q 47 45 43 41 39 37 + 162 q + 190 q + 215 q + 245 q + 268 q + 293 q 35 33 31 29 27 25 + 314 q + 331 q + 338 q + 338 q + 326 q + 303 q 23 21 19 17 15 13 + 268 q + 219 q + 167 q + 112 q + 63 q + 28 q 11 9 100 98 96 94 92 90 + 8 q + q , 0, q + q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q 88 86 84 82 80 78 76 + 11 q + 15 q + 22 q + 30 q + 40 q + 52 q + 69 q 74 72 70 68 66 64 + 87 q + 111 q + 138 q + 171 q + 207 q + 249 q 62 60 58 56 54 52 + 295 q + 348 q + 405 q + 466 q + 531 q + 598 q 50 48 46 44 42 40 + 665 q + 734 q + 801 q + 862 q + 918 q + 958 q 38 36 34 32 30 28 + 990 q + 1003 q + 995 q + 959 q + 901 q + 813 q 26 24 22 20 18 16 + 704 q + 574 q + 434 q + 301 q + 182 q + 92 q 14 12 10] + 36 q + 9 q + q ] Note: this gives us the following enumerating function for areas under Dyck paths of length 0 through 20 2 / 4 2\ 4 / 9 7 5 3\ 6 1 + x q + \q + q / x + \q + q + 2 q + q / x / 16 14 12 10 8 6 4\ 8 / 25 + \q + q + 2 q + 3 q + 3 q + 3 q + q / x + \q 23 21 19 17 15 13 11 9 + q + 2 q + 3 q + 5 q + 5 q + 7 q + 7 q + 6 q 7 5\ 10 / 36 34 32 30 28 26 + 4 q + q / x + \q + q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q 24 22 20 18 16 14 12 + 9 q + 11 q + 14 q + 16 q + 16 q + 17 q + 14 q 10 8 6\ 12 / 49 47 45 43 41 + 10 q + 5 q + q / x + \q + q + 2 q + 3 q + 5 q 39 37 35 33 31 29 27 + 7 q + 11 q + 13 q + 18 q + 22 q + 28 q + 32 q 25 23 21 19 17 15 13 + 37 q + 40 q + 44 q + 43 q + 40 q + 35 q + 25 q 11 9 7\ 14 / 64 62 60 58 56 + 15 q + 6 q + q / x + \q + q + 2 q + 3 q + 5 q 54 52 50 48 46 44 42 + 7 q + 11 q + 15 q + 20 q + 26 q + 34 q + 42 q 40 38 36 34 32 30 + 53 q + 63 q + 73 q + 85 q + 96 q + 106 q 28 26 24 22 20 18 + 113 q + 118 q + 118 q + 115 q + 102 q + 86 q 16 14 12 10 8\ 16 / 81 79 + 65 q + 41 q + 21 q + 7 q + q / x + \q + q 77 75 73 71 69 67 65 + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q + 11 q + 15 q + 22 q 63 61 59 57 55 53 + 28 q + 38 q + 48 q + 63 q + 77 q + 97 q 51 49 47 45 43 41 + 116 q + 139 q + 162 q + 190 q + 215 q + 245 q 39 37 35 33 31 29 + 268 q + 293 q + 314 q + 331 q + 338 q + 338 q 27 25 23 21 19 17 + 326 q + 303 q + 268 q + 219 q + 167 q + 112 q 15 13 11 9\ 18 / 100 98 96 + 63 q + 28 q + 8 q + q / x + \q + q + 2 q 94 92 90 88 86 84 82 + 3 q + 5 q + 7 q + 11 q + 15 q + 22 q + 30 q 80 78 76 74 72 70 + 40 q + 52 q + 69 q + 87 q + 111 q + 138 q 68 66 64 62 60 58 + 171 q + 207 q + 249 q + 295 q + 348 q + 405 q 56 54 52 50 48 46 + 466 q + 531 q + 598 q + 665 q + 734 q + 801 q 44 42 40 38 36 34 + 862 q + 918 q + 958 q + 990 q + 1003 q + 995 q 32 30 28 26 24 22 + 959 q + 901 q + 813 q + 704 q + 574 q + 434 q 20 18 16 14 12 10\ 20 + 301 q + 182 q + 92 q + 36 q + 9 q + q / x ---------------------------- The list of length 21 whose i-th entry is the enumerating function for the area under Motzkin paths of length i-1 is [ 2 4 3 2 [1, 1, q + 1, q + 2 q + 1, q + q + 3 q + 3 q + 1, 6 5 4 3 2 q + 2 q + 3 q + 4 q + 6 q + 4 q + 1, 9 8 7 6 5 4 3 2 q + q + 3 q + 5 q + 7 q + 8 q + 10 q + 10 q + 5 q + 1, 12 11 10 9 8 7 6 5 q + 2 q + 3 q + 6 q + 8 q + 12 q + 16 q + 18 q 4 3 2 16 15 14 13 + 19 q + 20 q + 15 q + 6 q + 1, q + q + 3 q + 5 q 12 11 10 9 8 7 6 + 9 q + 12 q + 18 q + 23 q + 29 q + 36 q + 41 q 5 4 3 2 20 19 18 + 41 q + 40 q + 35 q + 21 q + 7 q + 1, q + 2 q + 3 q 17 16 15 14 13 12 11 + 6 q + 10 q + 14 q + 22 q + 30 q + 40 q + 50 q 10 9 8 7 6 5 4 + 62 q + 72 q + 83 q + 92 q + 93 q + 86 q + 76 q 3 2 25 24 23 22 21 + 56 q + 28 q + 8 q + 1, q + q + 3 q + 5 q + 9 q 20 19 18 17 16 15 14 + 14 q + 22 q + 29 q + 43 q + 57 q + 74 q + 94 q 13 12 11 10 9 8 + 117 q + 137 q + 160 q + 180 q + 196 q + 209 q 7 6 5 4 3 2 + 211 q + 195 q + 168 q + 133 q + 84 q + 36 q + 9 q + 1, 30 29 28 27 26 25 24 23 q + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 24 q + 36 q 22 21 20 19 18 17 + 50 q + 70 q + 93 q + 120 q + 152 q + 192 q 16 15 14 13 12 11 + 231 q + 276 q + 323 q + 368 q + 408 q + 446 q 10 9 8 7 6 5 + 471 q + 484 q + 481 q + 448 q + 385 q + 308 q 4 3 2 36 35 34 + 218 q + 120 q + 45 q + 10 q + 1, q + q + 3 q 33 32 31 30 29 28 27 + 5 q + 9 q + 14 q + 24 q + 33 q + 49 q + 69 q 26 25 24 23 22 21 + 96 q + 127 q + 170 q + 216 q + 275 q + 341 q 20 19 18 17 16 15 + 416 q + 495 q + 588 q + 681 q + 777 q + 872 q 14 13 12 11 10 + 964 q + 1039 q + 1100 q + 1138 q + 1141 q 9 8 7 6 5 4 + 1110 q + 1033 q + 897 q + 722 q + 534 q + 339 q 3 2 42 41 40 39 + 165 q + 55 q + 11 q + 1, q + 2 q + 3 q + 6 q 38 37 36 35 34 33 + 10 q + 16 q + 26 q + 38 q + 56 q + 80 q 32 31 30 29 28 27 + 111 q + 150 q + 203 q + 262 q + 338 q + 430 q 26 25 24 23 22 21 + 537 q + 658 q + 802 q + 956 q + 1130 q + 1318 q 20 19 18 17 16 + 1513 q + 1714 q + 1928 q + 2128 q + 2319 q 15 14 13 12 11 + 2492 q + 2630 q + 2718 q + 2755 q + 2718 q 10 9 8 7 6 5 + 2599 q + 2398 q + 2099 q + 1712 q + 1293 q + 882 q 4 3 2 49 48 47 + 505 q + 220 q + 66 q + 12 q + 1, q + q + 3 q 46 45 44 43 42 41 40 + 5 q + 9 q + 14 q + 24 q + 35 q + 53 q + 75 q 39 38 37 36 35 34 + 108 q + 147 q + 204 q + 269 q + 356 q + 460 q 33 32 31 30 29 28 + 589 q + 738 q + 924 q + 1131 q + 1374 q + 1649 q 27 26 25 24 23 + 1964 q + 2302 q + 2682 q + 3082 q + 3510 q 22 21 20 19 18 + 3955 q + 4412 q + 4856 q + 5304 q + 5723 q 17 16 15 14 13 + 6091 q + 6398 q + 6622 q + 6724 q + 6693 q 12 11 10 9 8 7 + 6512 q + 6153 q + 5623 q + 4928 q + 4074 q + 3135 q 6 5 4 3 2 56 + 2221 q + 1397 q + 726 q + 286 q + 78 q + 13 q + 1, q 55 54 53 52 51 50 49 + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 26 q + 40 q 48 47 46 45 44 43 + 58 q + 86 q + 121 q + 168 q + 231 q + 312 q 42 41 40 39 38 37 + 411 q + 540 q + 696 q + 888 q + 1120 q + 1400 q 36 35 34 33 32 + 1722 q + 2108 q + 2547 q + 3050 q + 3620 q 31 30 29 28 27 + 4264 q + 4963 q + 5740 q + 6580 q + 7480 q 26 25 24 23 22 + 8426 q + 9420 q + 10429 q + 11456 q + 12469 q 21 20 19 18 17 + 13442 q + 14345 q + 15172 q + 15851 q + 16346 q 16 15 14 13 12 + 16626 q + 16634 q + 16320 q + 15676 q + 14673 q 11 10 9 8 7 + 13310 q + 11638 q + 9704 q + 7603 q + 5532 q 6 5 4 3 2 64 + 3674 q + 2134 q + 1013 q + 364 q + 91 q + 14 q + 1, q 63 62 61 60 59 58 57 + q + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q + 24 q + 35 q 56 55 54 53 52 51 + 55 q + 79 q + 114 q + 159 q + 224 q + 301 q 50 49 48 47 46 45 + 410 q + 541 q + 710 q + 917 q + 1179 q + 1486 q 44 43 42 41 40 + 1872 q + 2321 q + 2859 q + 3485 q + 4225 q 39 38 37 36 35 + 5060 q + 6036 q + 7126 q + 8356 q + 9723 q 34 33 32 31 30 + 11243 q + 12884 q + 14692 q + 16615 q + 18661 q 29 28 27 26 25 + 20816 q + 23076 q + 25372 q + 27721 q + 30051 q 24 23 22 21 20 + 32330 q + 34512 q + 36540 q + 38318 q + 39820 q 19 18 17 16 15 + 40951 q + 41595 q + 41685 q + 41152 q + 39902 q 14 13 12 11 10 + 37907 q + 35179 q + 31731 q + 27671 q + 23169 q 9 8 7 6 5 4 + 18412 q + 13706 q + 9438 q + 5875 q + 3159 q + 1378 q 3 2 72 71 70 69 + 455 q + 105 q + 15 q + 1, q + 2 q + 3 q + 6 q 68 67 66 65 64 63 + 10 q + 16 q + 26 q + 40 q + 60 q + 88 q 62 61 60 59 58 57 + 127 q + 178 q + 249 q + 340 q + 459 q + 612 q 56 55 54 53 52 + 809 q + 1050 q + 1357 q + 1732 q + 2192 q 51 50 49 48 47 + 2748 q + 3421 q + 4212 q + 5158 q + 6262 q 46 45 44 43 42 + 7548 q + 9032 q + 10746 q + 12680 q + 14882 q 41 40 39 38 37 + 17348 q + 20101 q + 23142 q + 26501 q + 30140 q 36 35 34 33 32 + 34099 q + 38346 q + 42872 q + 47648 q + 52677 q 31 30 29 28 27 + 57862 q + 63200 q + 68628 q + 74068 q + 79418 q 26 25 24 23 22 + 84624 q + 89526 q + 94040 q + 98028 q + 101320 q 21 20 19 18 + 103754 q + 105221 q + 105498 q + 104412 q 17 16 15 14 13 + 101866 q + 97755 q + 92018 q + 84739 q + 76052 q 12 11 10 9 8 + 66182 q + 55530 q + 44560 q + 33804 q + 23948 q 7 6 5 4 3 2 + 15612 q + 9113 q + 4550 q + 1834 q + 560 q + 120 q 81 80 79 78 77 76 + 16 q + 1, q + q + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q 75 74 73 72 71 70 + 24 q + 35 q + 55 q + 81 q + 118 q + 165 q 69 68 67 66 65 64 + 236 q + 321 q + 442 q + 593 q + 792 q + 1038 q 63 62 61 60 59 + 1360 q + 1747 q + 2241 q + 2838 q + 3573 q 58 57 56 55 54 + 4451 q + 5526 q + 6783 q + 8291 q + 10052 q 53 52 51 50 49 + 12123 q + 14509 q + 17291 q + 20447 q + 24070 q 48 47 46 45 44 + 28158 q + 32777 q + 37921 q + 43686 q + 50023 q 43 42 41 40 39 + 57017 q + 64643 q + 72949 q + 81882 q + 91507 q 38 37 36 35 + 101720 q + 112549 q + 123911 q + 135775 q 34 33 32 31 + 148002 q + 160583 q + 173320 q + 186108 q 30 29 28 27 + 198780 q + 211193 q + 223059 q + 234204 q 26 25 24 23 + 244333 q + 253162 q + 260403 q + 265742 q 22 21 20 19 + 268784 q + 269268 q + 266896 q + 261314 q 18 17 16 15 + 252341 q + 239923 q + 224057 q + 204961 q 14 13 12 11 + 183093 q + 159037 q + 133632 q + 107946 q 10 9 8 7 6 + 83086 q + 60253 q + 40664 q + 25103 q + 13755 q 5 4 3 2 90 89 + 6398 q + 2395 q + 680 q + 136 q + 17 q + 1, q + 2 q 88 87 86 85 84 83 82 + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 26 q + 40 q + 60 q 81 80 79 78 77 76 + 90 q + 129 q + 184 q + 259 q + 358 q + 487 q 75 74 73 72 71 + 660 q + 879 q + 1162 q + 1522 q + 1972 q 70 69 68 67 66 + 2531 q + 3234 q + 4085 q + 5132 q + 6400 q 65 64 63 62 61 + 7926 q + 9744 q + 11922 q + 14477 q + 17492 q 60 59 58 57 56 + 21011 q + 25100 q + 29815 q + 35260 q + 41451 q 55 54 53 52 51 + 48512 q + 56500 q + 65492 q + 75548 q + 86790 q 50 49 48 47 + 99210 q + 112940 q + 128007 q + 144462 q 46 45 44 43 + 162322 q + 181678 q + 202432 q + 224656 q 42 41 40 39 + 248290 q + 273282 q + 299522 q + 326986 q 38 37 36 35 + 355413 q + 384726 q + 414692 q + 445056 q 34 33 32 31 + 475518 q + 505848 q + 535542 q + 564256 q 30 29 28 27 + 591544 q + 616868 q + 639609 q + 659244 q 26 25 24 23 + 675042 q + 686376 q + 692598 q + 692996 q 22 21 20 19 + 686918 q + 673938 q + 653574 q + 625518 q 18 17 16 15 + 589866 q + 546968 q + 497466 q + 442520 q 14 13 12 11 + 383662 q + 322732 q + 261992 q + 203854 q 10 9 8 7 6 + 150630 q + 104534 q + 67250 q + 39328 q + 20259 q 5 4 3 2 100 99 + 8808 q + 3076 q + 816 q + 153 q + 18 q + 1, q + q 98 97 96 95 94 93 92 + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q + 24 q + 35 q + 55 q 91 90 89 88 87 86 + 81 q + 120 q + 169 q + 242 q + 333 q + 462 q 85 84 83 82 81 + 625 q + 844 q + 1118 q + 1482 q + 1928 q 80 79 78 77 76 + 2504 q + 3213 q + 4104 q + 5186 q + 6534 q 75 74 73 72 71 + 8149 q + 10126 q + 12485 q + 15324 q + 18671 q 70 69 68 67 66 + 22668 q + 27333 q + 32825 q + 39198 q + 46613 q 65 64 63 62 61 + 55126 q + 64953 q + 76134 q + 88899 q + 103328 q 60 59 58 57 + 119639 q + 137900 q + 158391 q + 181135 q 56 55 54 53 + 206394 q + 234241 q + 264899 q + 298379 q 52 51 50 49 + 334951 q + 374553 q + 417381 q + 463406 q 48 47 46 45 + 512737 q + 565220 q + 620989 q + 679773 q 44 43 42 41 + 741541 q + 806030 q + 873086 q + 942242 q 40 39 38 37 + 1013308 q + 1085676 q + 1158905 q + 1232365 q 36 35 34 33 + 1305446 q + 1377226 q + 1447042 q + 1513819 q 32 31 30 29 + 1576504 q + 1633983 q + 1685099 q + 1728384 q 28 27 26 25 + 1762553 q + 1786167 q + 1797777 q + 1796080 q 24 23 22 21 + 1779842 q + 1747851 q + 1699356 q + 1633962 q 20 19 18 17 + 1551490 q + 1452482 q + 1338307 q + 1210939 q 16 15 14 13 + 1073176 q + 928717 q + 781804 q + 637189 q 12 11 10 9 8 + 499965 q + 374909 q + 266152 q + 176897 q + 108532 q 7 6 5 4 3 2 + 60163 q + 29188 q + 11900 q + 3893 q + 969 q + 171 q ] + 19 q + 1] Note: this gives us the following enumerating function for areas under Motzkin paths of length 0 through 20 2 / 2 \ 3 1 + x + (q + 1) x + \q + 2 q + 1/ x / 4 3 2 \ 4 + \q + q + 3 q + 3 q + 1/ x / 6 5 4 3 2 \ 5 / 9 8 + \q + 2 q + 3 q + 4 q + 6 q + 4 q + 1/ x + \q + q 7 6 5 4 3 2 \ 6 / + 3 q + 5 q + 7 q + 8 q + 10 q + 10 q + 5 q + 1/ x + \ 12 11 10 9 8 7 6 5 q + 2 q + 3 q + 6 q + 8 q + 12 q + 16 q + 18 q 4 3 2 \ 7 / 16 15 14 + 19 q + 20 q + 15 q + 6 q + 1/ x + \q + q + 3 q 13 12 11 10 9 8 7 + 5 q + 9 q + 12 q + 18 q + 23 q + 29 q + 36 q 6 5 4 3 2 \ 8 / 20 + 41 q + 41 q + 40 q + 35 q + 21 q + 7 q + 1/ x + \q 19 18 17 16 15 14 13 + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 14 q + 22 q + 30 q 12 11 10 9 8 7 6 + 40 q + 50 q + 62 q + 72 q + 83 q + 92 q + 93 q 5 4 3 2 \ 9 / 25 24 + 86 q + 76 q + 56 q + 28 q + 8 q + 1/ x + \q + q 23 22 21 20 19 18 17 + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q + 22 q + 29 q + 43 q 16 15 14 13 12 11 + 57 q + 74 q + 94 q + 117 q + 137 q + 160 q 10 9 8 7 6 5 + 180 q + 196 q + 209 q + 211 q + 195 q + 168 q 4 3 2 \ 10 / 30 29 28 + 133 q + 84 q + 36 q + 9 q + 1/ x + \q + 2 q + 3 q 27 26 25 24 23 22 21 + 6 q + 10 q + 16 q + 24 q + 36 q + 50 q + 70 q 20 19 18 17 16 15 + 93 q + 120 q + 152 q + 192 q + 231 q + 276 q 14 13 12 11 10 9 + 323 q + 368 q + 408 q + 446 q + 471 q + 484 q 8 7 6 5 4 3 2 + 481 q + 448 q + 385 q + 308 q + 218 q + 120 q + 45 q \ 11 / 36 35 34 33 32 31 + 10 q + 1/ x + \q + q + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q 30 29 28 27 26 25 + 24 q + 33 q + 49 q + 69 q + 96 q + 127 q 24 23 22 21 20 19 + 170 q + 216 q + 275 q + 341 q + 416 q + 495 q 18 17 16 15 14 13 + 588 q + 681 q + 777 q + 872 q + 964 q + 1039 q 12 11 10 9 8 7 + 1100 q + 1138 q + 1141 q + 1110 q + 1033 q + 897 q 6 5 4 3 2 \ 12 + 722 q + 534 q + 339 q + 165 q + 55 q + 11 q + 1/ x + / 42 41 40 39 38 37 36 \q + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 26 q 35 34 33 32 31 30 + 38 q + 56 q + 80 q + 111 q + 150 q + 203 q 29 28 27 26 25 24 + 262 q + 338 q + 430 q + 537 q + 658 q + 802 q 23 22 21 20 19 + 956 q + 1130 q + 1318 q + 1513 q + 1714 q 18 17 16 15 14 + 1928 q + 2128 q + 2319 q + 2492 q + 2630 q 13 12 11 10 9 + 2718 q + 2755 q + 2718 q + 2599 q + 2398 q 8 7 6 5 4 3 + 2099 q + 1712 q + 1293 q + 882 q + 505 q + 220 q 2 \ 13 / 49 48 47 46 45 + 66 q + 12 q + 1/ x + \q + q + 3 q + 5 q + 9 q 44 43 42 41 40 39 + 14 q + 24 q + 35 q + 53 q + 75 q + 108 q 38 37 36 35 34 33 + 147 q + 204 q + 269 q + 356 q + 460 q + 589 q 32 31 30 29 28 + 738 q + 924 q + 1131 q + 1374 q + 1649 q 27 26 25 24 23 + 1964 q + 2302 q + 2682 q + 3082 q + 3510 q 22 21 20 19 18 + 3955 q + 4412 q + 4856 q + 5304 q + 5723 q 17 16 15 14 13 + 6091 q + 6398 q + 6622 q + 6724 q + 6693 q 12 11 10 9 8 7 + 6512 q + 6153 q + 5623 q + 4928 q + 4074 q + 3135 q 6 5 4 3 2 \ 14 + 2221 q + 1397 q + 726 q + 286 q + 78 q + 13 q + 1/ x + / 56 55 54 53 52 51 50 \q + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 26 q 49 48 47 46 45 44 + 40 q + 58 q + 86 q + 121 q + 168 q + 231 q 43 42 41 40 39 38 + 312 q + 411 q + 540 q + 696 q + 888 q + 1120 q 37 36 35 34 33 + 1400 q + 1722 q + 2108 q + 2547 q + 3050 q 32 31 30 29 28 + 3620 q + 4264 q + 4963 q + 5740 q + 6580 q 27 26 25 24 23 + 7480 q + 8426 q + 9420 q + 10429 q + 11456 q 22 21 20 19 18 + 12469 q + 13442 q + 14345 q + 15172 q + 15851 q 17 16 15 14 13 + 16346 q + 16626 q + 16634 q + 16320 q + 15676 q 12 11 10 9 8 + 14673 q + 13310 q + 11638 q + 9704 q + 7603 q 7 6 5 4 3 2 + 5532 q + 3674 q + 2134 q + 1013 q + 364 q + 91 q \ 15 / 64 63 62 61 60 59 + 14 q + 1/ x + \q + q + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q 58 57 56 55 54 53 + 24 q + 35 q + 55 q + 79 q + 114 q + 159 q 52 51 50 49 48 47 + 224 q + 301 q + 410 q + 541 q + 710 q + 917 q 46 45 44 43 42 + 1179 q + 1486 q + 1872 q + 2321 q + 2859 q 41 40 39 38 37 + 3485 q + 4225 q + 5060 q + 6036 q + 7126 q 36 35 34 33 32 + 8356 q + 9723 q + 11243 q + 12884 q + 14692 q 31 30 29 28 27 + 16615 q + 18661 q + 20816 q + 23076 q + 25372 q 26 25 24 23 22 + 27721 q + 30051 q + 32330 q + 34512 q + 36540 q 21 20 19 18 17 + 38318 q + 39820 q + 40951 q + 41595 q + 41685 q 16 15 14 13 12 + 41152 q + 39902 q + 37907 q + 35179 q + 31731 q 11 10 9 8 7 + 27671 q + 23169 q + 18412 q + 13706 q + 9438 q 6 5 4 3 2 \ + 5875 q + 3159 q + 1378 q + 455 q + 105 q + 15 q + 1/ 16 / 72 71 70 69 68 67 66 x + \q + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 26 q 65 64 63 62 61 60 + 40 q + 60 q + 88 q + 127 q + 178 q + 249 q 59 58 57 56 55 54 + 340 q + 459 q + 612 q + 809 q + 1050 q + 1357 q 53 52 51 50 49 + 1732 q + 2192 q + 2748 q + 3421 q + 4212 q 48 47 46 45 44 + 5158 q + 6262 q + 7548 q + 9032 q + 10746 q 43 42 41 40 39 + 12680 q + 14882 q + 17348 q + 20101 q + 23142 q 38 37 36 35 34 + 26501 q + 30140 q + 34099 q + 38346 q + 42872 q 33 32 31 30 29 + 47648 q + 52677 q + 57862 q + 63200 q + 68628 q 28 27 26 25 24 + 74068 q + 79418 q + 84624 q + 89526 q + 94040 q 23 22 21 20 + 98028 q + 101320 q + 103754 q + 105221 q 19 18 17 16 15 + 105498 q + 104412 q + 101866 q + 97755 q + 92018 q 14 13 12 11 10 + 84739 q + 76052 q + 66182 q + 55530 q + 44560 q 9 8 7 6 5 4 + 33804 q + 23948 q + 15612 q + 9113 q + 4550 q + 1834 q 3 2 \ 17 / 81 80 79 78 + 560 q + 120 q + 16 q + 1/ x + \q + q + 3 q + 5 q 77 76 75 74 73 72 71 + 9 q + 14 q + 24 q + 35 q + 55 q + 81 q + 118 q 70 69 68 67 66 65 + 165 q + 236 q + 321 q + 442 q + 593 q + 792 q 64 63 62 61 60 + 1038 q + 1360 q + 1747 q + 2241 q + 2838 q 59 58 57 56 55 + 3573 q + 4451 q + 5526 q + 6783 q + 8291 q 54 53 52 51 50 + 10052 q + 12123 q + 14509 q + 17291 q + 20447 q 49 48 47 46 45 + 24070 q + 28158 q + 32777 q + 37921 q + 43686 q 44 43 42 41 40 + 50023 q + 57017 q + 64643 q + 72949 q + 81882 q 39 38 37 36 + 91507 q + 101720 q + 112549 q + 123911 q 35 34 33 32 + 135775 q + 148002 q + 160583 q + 173320 q 31 30 29 28 + 186108 q + 198780 q + 211193 q + 223059 q 27 26 25 24 + 234204 q + 244333 q + 253162 q + 260403 q 23 22 21 20 + 265742 q + 268784 q + 269268 q + 266896 q 19 18 17 16 + 261314 q + 252341 q + 239923 q + 224057 q 15 14 13 12 + 204961 q + 183093 q + 159037 q + 133632 q 11 10 9 8 7 + 107946 q + 83086 q + 60253 q + 40664 q + 25103 q 6 5 4 3 2 \ + 13755 q + 6398 q + 2395 q + 680 q + 136 q + 17 q + 1/ 18 / 90 89 88 87 86 85 84 x + \q + 2 q + 3 q + 6 q + 10 q + 16 q + 26 q 83 82 81 80 79 78 + 40 q + 60 q + 90 q + 129 q + 184 q + 259 q 77 76 75 74 73 72 + 358 q + 487 q + 660 q + 879 q + 1162 q + 1522 q 71 70 69 68 67 + 1972 q + 2531 q + 3234 q + 4085 q + 5132 q 66 65 64 63 62 + 6400 q + 7926 q + 9744 q + 11922 q + 14477 q 61 60 59 58 57 + 17492 q + 21011 q + 25100 q + 29815 q + 35260 q 56 55 54 53 52 + 41451 q + 48512 q + 56500 q + 65492 q + 75548 q 51 50 49 48 47 + 86790 q + 99210 q + 112940 q + 128007 q + 144462 q 46 45 44 43 + 162322 q + 181678 q + 202432 q + 224656 q 42 41 40 39 + 248290 q + 273282 q + 299522 q + 326986 q 38 37 36 35 + 355413 q + 384726 q + 414692 q + 445056 q 34 33 32 31 + 475518 q + 505848 q + 535542 q + 564256 q 30 29 28 27 + 591544 q + 616868 q + 639609 q + 659244 q 26 25 24 23 + 675042 q + 686376 q + 692598 q + 692996 q 22 21 20 19 + 686918 q + 673938 q + 653574 q + 625518 q 18 17 16 15 + 589866 q + 546968 q + 497466 q + 442520 q 14 13 12 11 + 383662 q + 322732 q + 261992 q + 203854 q 10 9 8 7 6 + 150630 q + 104534 q + 67250 q + 39328 q + 20259 q 5 4 3 2 \ 19 / 100 + 8808 q + 3076 q + 816 q + 153 q + 18 q + 1/ x + \q 99 98 97 96 95 94 93 + q + 3 q + 5 q + 9 q + 14 q + 24 q + 35 q 92 91 90 89 88 87 + 55 q + 81 q + 120 q + 169 q + 242 q + 333 q 86 85 84 83 82 81 + 462 q + 625 q + 844 q + 1118 q + 1482 q + 1928 q 80 79 78 77 76 + 2504 q + 3213 q + 4104 q + 5186 q + 6534 q 75 74 73 72 71 + 8149 q + 10126 q + 12485 q + 15324 q + 18671 q 70 69 68 67 66 + 22668 q + 27333 q + 32825 q + 39198 q + 46613 q 65 64 63 62 61 + 55126 q + 64953 q + 76134 q + 88899 q + 103328 q 60 59 58 57 + 119639 q + 137900 q + 158391 q + 181135 q 56 55 54 53 + 206394 q + 234241 q + 264899 q + 298379 q 52 51 50 49 + 334951 q + 374553 q + 417381 q + 463406 q 48 47 46 45 + 512737 q + 565220 q + 620989 q + 679773 q 44 43 42 41 + 741541 q + 806030 q + 873086 q + 942242 q 40 39 38 37 + 1013308 q + 1085676 q + 1158905 q + 1232365 q 36 35 34 33 + 1305446 q + 1377226 q + 1447042 q + 1513819 q 32 31 30 29 + 1576504 q + 1633983 q + 1685099 q + 1728384 q 28 27 26 25 + 1762553 q + 1786167 q + 1797777 q + 1796080 q 24 23 22 21 + 1779842 q + 1747851 q + 1699356 q + 1633962 q 20 19 18 17 + 1551490 q + 1452482 q + 1338307 q + 1210939 q 16 15 14 13 + 1073176 q + 928717 q + 781804 q + 637189 q 12 11 10 9 8 + 499965 q + 374909 q + 266152 q + 176897 q + 108532 q 7 6 5 4 3 2 + 60163 q + 29188 q + 11900 q + 3893 q + 969 q + 171 q \ 20 + 19 q + 1/ x ---------------------------- The list of length 21 whose i-th entry is the enumerating function for the area under paths of length i-1 with steps {[1,1],[1,-1],\ [1,2]} is [ 3 4 2 8 7 6 4 [1, 0, q, q , q + q , q + q + q + 2 q , 12 9 7 6 5 3 15 14 13 12 q + 2 q + q + q + 2 q + q , q + q + 2 q + q 11 10 9 8 7 5 21 20 19 + 2 q + 2 q + 3 q + 2 q + 4 q + 3 q , q + q + 2 q 17 16 15 14 13 12 11 + 2 q + 3 q + 2 q + 3 q + 3 q + 4 q + 2 q 10 9 8 7 6 4 27 24 23 + 7 q + 2 q + 3 q + 3 q + 3 q + q , q + 2 q + q 22 21 20 19 18 17 16 + 2 q + 4 q + 3 q + 2 q + 7 q + 3 q + 7 q 15 14 13 12 11 10 9 8 + 9 q + 7 q + 5 q + 11 q + 6 q + 9 q + 4 q + 9 q 6 32 31 30 29 28 27 26 + 4 q , q + q + 3 q + 2 q + 4 q + 2 q + 5 q 25 24 23 22 21 20 19 + 6 q + 8 q + 6 q + 10 q + 10 q + 12 q + 12 q 18 17 16 15 14 13 12 + 11 q + 17 q + 14 q + 16 q + 12 q + 19 q + 9 q 11 10 9 8 7 5 40 39 38 + 16 q + 9 q + 6 q + 6 q + 4 q + q , q + q + 2 q 37 36 35 34 33 32 31 30 + q + 2 q + 3 q + 4 q + 4 q + 6 q + 9 q + 8 q 29 28 27 26 25 24 23 + 9 q + 13 q + 12 q + 14 q + 22 q + 16 q + 24 q 22 21 20 19 18 17 16 + 25 q + 25 q + 22 q + 34 q + 26 q + 31 q + 31 q 15 14 13 12 11 10 9 + 31 q + 18 q + 35 q + 15 q + 22 q + 8 q + 16 q 7 48 45 44 43 42 41 40 + 5 q , q + 2 q + q + 3 q + 5 q + 6 q + 4 q 39 38 37 36 35 34 33 + 12 q + 5 q + 12 q + 17 q + 17 q + 14 q + 30 q 32 31 30 29 28 27 26 + 22 q + 31 q + 35 q + 36 q + 35 q + 52 q + 44 q 25 24 23 22 21 20 19 + 49 q + 61 q + 52 q + 58 q + 66 q + 62 q + 54 q 18 17 16 15 14 13 12 + 74 q + 51 q + 58 q + 44 q + 53 q + 30 q + 31 q 11 10 9 8 6 55 54 53 + 24 q + 10 q + 10 q + 5 q + q , q + q + 3 q 52 51 50 49 48 47 46 + 3 q + 5 q + 4 q + 6 q + 8 q + 11 q + 10 q 45 44 43 42 41 40 39 + 15 q + 17 q + 25 q + 23 q + 28 q + 34 q + 37 q 38 37 36 35 34 33 32 + 42 q + 50 q + 53 q + 60 q + 69 q + 75 q + 82 q 31 30 29 28 27 26 + 87 q + 91 q + 95 q + 115 q + 105 q + 125 q 25 24 23 22 21 20 + 116 q + 127 q + 126 q + 133 q + 109 q + 135 q 19 18 17 16 15 14 + 113 q + 115 q + 90 q + 108 q + 52 q + 86 q 13 12 11 10 8 65 64 63 + 36 q + 45 q + 15 q + 25 q + 6 q , q + q + 2 q 62 61 60 59 58 57 56 + q + 3 q + 3 q + 4 q + 6 q + 7 q + 12 q 55 54 53 52 51 50 49 + 13 q + 16 q + 18 q + 26 q + 21 q + 36 q + 38 q 48 47 46 45 44 43 + 47 q + 44 q + 68 q + 60 q + 85 q + 84 q 42 41 40 39 38 37 + 103 q + 99 q + 136 q + 117 q + 149 q + 162 q 36 35 34 33 32 31 + 172 q + 170 q + 218 q + 198 q + 222 q + 238 q 30 29 28 27 26 25 + 234 q + 250 q + 275 q + 262 q + 257 q + 290 q 24 23 22 21 20 19 + 258 q + 262 q + 259 q + 256 q + 202 q + 241 q 18 17 16 15 14 13 + 169 q + 166 q + 133 q + 119 q + 80 q + 55 q 12 11 10 9 7 75 72 71 + 50 q + 15 q + 15 q + 6 q + q , q + 2 q + q 70 69 68 67 66 65 64 + 3 q + 6 q + 7 q + 7 q + 15 q + 10 q + 16 q 63 62 61 60 59 58 57 + 24 q + 25 q + 25 q + 42 q + 38 q + 52 q + 66 q 56 55 54 53 52 51 + 70 q + 71 q + 109 q + 94 q + 118 q + 146 q 50 49 48 47 46 45 + 144 q + 157 q + 210 q + 197 q + 224 q + 266 q 44 43 42 41 40 39 + 269 q + 285 q + 346 q + 331 q + 357 q + 418 q 38 37 36 35 34 33 + 412 q + 434 q + 490 q + 483 q + 497 q + 563 q 32 31 30 29 28 27 + 522 q + 555 q + 579 q + 586 q + 550 q + 613 q 26 25 24 23 22 21 + 538 q + 556 q + 528 q + 522 q + 424 q + 473 q 20 19 18 17 16 15 + 360 q + 367 q + 243 q + 295 q + 135 q + 181 q 14 13 12 11 9 84 83 82 + 80 q + 81 q + 26 q + 36 q + 7 q , q + q + 3 q 81 80 79 78 77 76 75 + 3 q + 6 q + 5 q + 8 q + 9 q + 14 q + 13 q 74 73 72 71 70 69 68 + 19 q + 23 q + 32 q + 36 q + 42 q + 53 q + 59 q 67 66 65 64 63 62 + 74 q + 79 q + 98 q + 112 q + 132 q + 139 q 61 60 59 58 57 56 + 176 q + 179 q + 226 q + 229 q + 287 q + 287 q 55 54 53 52 51 50 + 355 q + 346 q + 424 q + 429 q + 504 q + 503 q 49 48 47 46 45 44 + 609 q + 585 q + 696 q + 699 q + 784 q + 791 q 43 42 41 40 39 38 + 898 q + 876 q + 982 q + 993 q + 1061 q + 1080 q 37 36 35 34 33 + 1158 q + 1141 q + 1214 q + 1229 q + 1211 q 32 31 30 29 28 + 1262 q + 1251 q + 1238 q + 1240 q + 1218 q 27 26 25 24 23 22 + 1111 q + 1157 q + 1036 q + 981 q + 880 q + 867 q 21 20 19 18 17 16 + 654 q + 662 q + 505 q + 406 q + 341 q + 240 q 15 14 13 12 11 10 8 + 180 q + 92 q + 90 q + 21 q + 21 q + 7 q + q , 96 95 94 93 92 91 90 89 88 q + q + 2 q + q + 3 q + 4 q + 4 q + 6 q + 9 q 87 86 85 84 83 82 81 + 13 q + 16 q + 22 q + 25 q + 33 q + 37 q + 47 q 80 79 78 77 76 75 + 56 q + 72 q + 73 q + 96 q + 108 q + 131 q 74 73 72 71 70 69 + 144 q + 188 q + 189 q + 236 q + 261 q + 297 q 68 67 66 65 64 63 + 324 q + 400 q + 396 q + 479 q + 525 q + 584 q 62 61 60 59 58 57 + 618 q + 733 q + 746 q + 864 q + 929 q + 1000 q 56 55 54 53 52 + 1054 q + 1220 q + 1218 q + 1352 q + 1470 q 51 50 49 48 47 + 1531 q + 1608 q + 1798 q + 1804 q + 1934 q 46 45 44 43 42 + 2063 q + 2115 q + 2192 q + 2374 q + 2357 q 41 40 39 38 37 + 2441 q + 2616 q + 2577 q + 2646 q + 2748 q 36 35 34 33 32 + 2728 q + 2699 q + 2828 q + 2659 q + 2701 q 31 30 29 28 27 + 2646 q + 2605 q + 2361 q + 2452 q + 2144 q 26 25 24 23 22 + 2079 q + 1851 q + 1786 q + 1372 q + 1444 q 21 20 19 18 17 16 + 1005 q + 1009 q + 616 q + 682 q + 321 q + 343 q 15 14 13 12 10 108 105 + 162 q + 133 q + 42 q + 49 q + 8 q , q + 2 q 104 103 102 101 100 99 98 + q + 3 q + 6 q + 8 q + 8 q + 18 q + 13 q 97 96 95 94 93 92 91 + 22 q + 29 q + 33 q + 34 q + 57 q + 51 q + 71 q 90 89 88 87 86 85 + 91 q + 103 q + 110 q + 158 q + 155 q + 189 q 84 83 82 81 80 79 + 240 q + 244 q + 281 q + 365 q + 372 q + 415 q 78 77 76 75 74 73 + 516 q + 530 q + 610 q + 714 q + 768 q + 821 q 72 71 70 69 68 + 1019 q + 999 q + 1158 q + 1296 q + 1388 q 67 66 65 64 63 + 1445 q + 1760 q + 1719 q + 1963 q + 2102 q 62 61 60 59 58 + 2283 q + 2337 q + 2776 q + 2677 q + 3004 q 57 56 55 54 53 + 3192 q + 3399 q + 3423 q + 3943 q + 3827 q 52 51 50 49 48 + 4197 q + 4385 q + 4601 q + 4626 q + 5117 q 47 46 45 44 43 + 5004 q + 5302 q + 5505 q + 5616 q + 5602 q 42 41 40 39 38 + 5984 q + 5871 q + 5985 q + 6131 q + 6033 q 37 36 35 34 33 + 6007 q + 6082 q + 5921 q + 5709 q + 5755 q 32 31 30 29 28 + 5427 q + 5225 q + 4976 q + 4719 q + 4194 q 27 26 25 24 23 + 4087 q + 3538 q + 3213 q + 2724 q + 2498 q 22 21 20 19 18 17 + 1910 q + 1631 q + 1332 q + 899 q + 769 q + 454 q 16 15 14 13 12 11 9 + 357 q + 147 q + 147 q + 28 q + 28 q + 8 q + q , 119 118 117 116 115 114 113 q + q + 3 q + 3 q + 6 q + 6 q + 9 q 112 111 110 109 108 107 + 11 q + 15 q + 16 q + 23 q + 27 q + 38 q 106 105 104 103 102 101 + 45 q + 55 q + 69 q + 82 q + 100 q + 115 q 100 99 98 97 96 95 + 138 q + 166 q + 194 q + 223 q + 261 q + 296 q 94 93 92 91 90 89 + 352 q + 389 q + 468 q + 522 q + 605 q + 656 q 88 87 86 85 84 83 + 783 q + 841 q + 980 q + 1065 q + 1218 q + 1312 q 82 81 80 79 78 + 1518 q + 1609 q + 1832 q + 1965 q + 2219 q 77 76 75 74 73 + 2353 q + 2675 q + 2803 q + 3152 q + 3328 q 72 71 70 69 68 + 3680 q + 3882 q + 4316 q + 4467 q + 4948 q 67 66 65 64 63 + 5190 q + 5624 q + 5882 q + 6419 q + 6619 q 62 61 60 59 58 + 7191 q + 7482 q + 7966 q + 8267 q + 8856 q 57 56 55 54 53 + 9035 q + 9660 q + 9968 q + 10383 q + 10754 q 52 51 50 49 48 + 11273 q + 11422 q + 11979 q + 12215 q + 12488 q 47 46 45 44 43 + 12778 q + 13107 q + 13143 q + 13416 q + 13545 q 42 41 40 39 38 + 13441 q + 13667 q + 13516 q + 13316 q + 13199 q 37 36 35 34 33 + 13059 q + 12380 q + 12406 q + 11601 q + 11234 q 32 31 30 29 28 + 10504 q + 10118 q + 8858 q + 8664 q + 7451 q 27 26 25 24 23 + 6898 q + 5730 q + 5452 q + 3936 q + 3906 q 22 21 20 19 18 + 2598 q + 2446 q + 1459 q + 1408 q + 700 q 17 16 15 14 13 11 133 + 602 q + 301 q + 204 q + 64 q + 64 q + 9 q , q 132 131 130 129 128 127 126 + q + 2 q + q + 3 q + 4 q + 5 q + 6 q 125 124 123 122 121 120 + 9 q + 15 q + 17 q + 25 q + 31 q + 41 q 119 118 117 116 115 114 + 45 q + 65 q + 69 q + 95 q + 103 q + 131 q 113 112 111 110 109 + 143 q + 191 q + 200 q + 263 q + 288 q 108 107 106 105 104 + 350 q + 385 q + 478 q + 509 q + 627 q 103 102 101 100 99 + 688 q + 792 q + 880 q + 1059 q + 1115 q 98 97 96 95 94 + 1296 q + 1448 q + 1616 q + 1790 q + 2040 q 93 92 91 90 89 + 2201 q + 2474 q + 2769 q + 2983 q + 3318 q 88 87 86 85 84 + 3672 q + 3967 q + 4309 q + 4849 q + 5076 q 83 82 81 80 79 + 5633 q + 6092 q + 6581 q + 7003 q + 7823 q 78 77 76 75 74 + 8049 q + 8905 q + 9450 q + 10194 q + 10603 q 73 72 71 70 69 + 11788 q + 11978 q + 13110 q + 13721 q + 14644 q 68 67 66 65 64 + 15090 q + 16565 q + 16689 q + 18063 q + 18674 q 63 62 61 60 59 + 19743 q + 20139 q + 21820 q + 21825 q + 23176 q 58 57 56 55 54 + 23844 q + 24795 q + 25099 q + 26713 q + 26581 q 53 52 51 50 49 + 27701 q + 28280 q + 28874 q + 28975 q + 30115 q 48 47 46 45 44 + 29771 q + 30276 q + 30612 q + 30465 q + 30180 q 43 42 41 40 39 + 30520 q + 29845 q + 29326 q + 29151 q + 28035 q 38 37 36 35 34 + 27241 q + 26427 q + 25243 q + 23629 q + 22845 q 33 32 31 30 29 + 20971 q + 19458 q + 17809 q + 16327 q + 14090 q 28 27 26 25 24 + 12945 q + 10894 q + 9366 q + 7751 q + 6433 q 23 22 21 20 19 + 5058 q + 3727 q + 3135 q + 1862 q + 1569 q 18 17 16 15 14 13 + 819 q + 644 q + 226 q + 224 q + 36 q + 36 q 12 10] + 9 q + q ] Note: this gives us the following enumerating function for areas under such paths of length 0 through 20 2 3 3 / 4 2\ 4 / 8 7 6 4\ 5 1 + x q + x q + \q + q / x + \q + q + q + 2 q / x / 12 9 7 6 5 3\ 6 / 15 14 13 + \q + 2 q + q + q + 2 q + q / x + \q + q + 2 q 12 11 10 9 8 7 5\ 7 / 21 + q + 2 q + 2 q + 3 q + 2 q + 4 q + 3 q / x + \q 20 19 17 16 15 14 13 12 + q + 2 q + 2 q + 3 q + 2 q + 3 q + 3 q + 4 q 11 10 9 8 7 6 4\ 8 / 27 + 2 q + 7 q + 2 q + 3 q + 3 q + 3 q + q / x + \q 24 23 22 21 20 19 18 17 + 2 q + q + 2 q + 4 q + 3 q + 2 q + 7 q + 3 q 16 15 14 13 12 11 10 + 7 q + 9 q + 7 q + 5 q + 11 q + 6 q + 9 q 9 8 6\ 9 / 32 31 30 29 28 + 4 q + 9 q + 4 q / x + \q + q + 3 q + 2 q + 4 q 27 26 25 24 23 22 21 + 2 q + 5 q + 6 q + 8 q + 6 q + 10 q + 10 q 20 19 18 17 16 15 14 + 12 q + 12 q + 11 q + 17 q + 14 q + 16 q + 12 q 13 12 11 10 9 8 7 5\ + 19 q + 9 q + 16 q + 9 q + 6 q + 6 q + 4 q + q / 10 / 40 39 38 37 36 35 34 33 x + \q + q + 2 q + q + 2 q + 3 q + 4 q + 4 q 32 31 30 29 28 27 26 + 6 q + 9 q + 8 q + 9 q + 13 q + 12 q + 14 q 25 24 23 22 21 20 19 + 22 q + 16 q + 24 q + 25 q + 25 q + 22 q + 34 q 18 17 16 15 14 13 12 + 26 q + 31 q + 31 q + 31 q + 18 q + 35 q + 15 q 11 10 9 7\ 11 / 48 45 44 + 22 q + 8 q + 16 q + 5 q / x + \q + 2 q + q 43 42 41 40 39 38 37 + 3 q + 5 q + 6 q + 4 q + 12 q + 5 q + 12 q 36 35 34 33 32 31 30 + 17 q + 17 q + 14 q + 30 q + 22 q + 31 q + 35 q 29 28 27 26 25 24 23 + 36 q + 35 q + 52 q + 44 q + 49 q + 61 q + 52 q 22 21 20 19 18 17 16 + 58 q + 66 q + 62 q + 54 q + 74 q + 51 q + 58 q 15 14 13 12 11 10 9 + 44 q + 53 q + 30 q + 31 q + 24 q + 10 q + 10 q 8 6\ 12 / 55 54 53 52 51 50 + 5 q + q / x + \q + q + 3 q + 3 q + 5 q + 4 q 49 48 47 46 45 44 43 + 6 q + 8 q + 11 q + 10 q + 15 q + 17 q + 25 q 42 41 40 39 38 37 36 + 23 q + 28 q + 34 q + 37 q + 42 q + 50 q + 53 q 35 34 33 32 31 30 29 + 60 q + 69 q + 75 q + 82 q + 87 q + 91 q + 95 q 28 27 26 25 24 23 + 115 q + 105 q + 125 q + 116 q + 127 q + 126 q 22 21 20 19 18 17 + 133 q + 109 q + 135 q + 113 q + 115 q + 90 q 16 15 14 13 12 11 + 108 q + 52 q + 86 q + 36 q + 45 q + 15 q 10 8\ 13 / 65 64 63 62 61 + 25 q + 6 q / x + \q + q + 2 q + q + 3 q 60 59 58 57 56 55 54 + 3 q + 4 q + 6 q + 7 q + 12 q + 13 q + 16 q 53 52 51 50 49 48 47 + 18 q + 26 q + 21 q + 36 q + 38 q + 47 q + 44 q 46 45 44 43 42 41 + 68 q + 60 q + 85 q + 84 q + 103 q + 99 q 40 39 38 37 36 35 + 136 q + 117 q + 149 q + 162 q + 172 q + 170 q 34 33 32 31 30 29 + 218 q + 198 q + 222 q + 238 q + 234 q + 250 q 28 27 26 25 24 23 + 275 q + 262 q + 257 q + 290 q + 258 q + 262 q 22 21 20 19 18 17 + 259 q + 256 q + 202 q + 241 q + 169 q + 166 q 16 15 14 13 12 11 + 133 q + 119 q + 80 q + 55 q + 50 q + 15 q 10 9 7\ 14 / 75 72 71 70 69 + 15 q + 6 q + q / x + \q + 2 q + q + 3 q + 6 q 68 67 66 65 64 63 62 + 7 q + 7 q + 15 q + 10 q + 16 q + 24 q + 25 q 61 60 59 58 57 56 55 + 25 q + 42 q + 38 q + 52 q + 66 q + 70 q + 71 q 54 53 52 51 50 49 + 109 q + 94 q + 118 q + 146 q + 144 q + 157 q 48 47 46 45 44 43 + 210 q + 197 q + 224 q + 266 q + 269 q + 285 q 42 41 40 39 38 37 + 346 q + 331 q + 357 q + 418 q + 412 q + 434 q 36 35 34 33 32 31 + 490 q + 483 q + 497 q + 563 q + 522 q + 555 q 30 29 28 27 26 25 + 579 q + 586 q + 550 q + 613 q + 538 q + 556 q 24 23 22 21 20 19 + 528 q + 522 q + 424 q + 473 q + 360 q + 367 q 18 17 16 15 14 13 + 243 q + 295 q + 135 q + 181 q + 80 q + 81 q 12 11 9\ 15 / 84 83 82 81 + 26 q + 36 q + 7 q / x + \q + q + 3 q + 3 q 80 79 78 77 76 75 74 + 6 q + 5 q + 8 q + 9 q + 14 q + 13 q + 19 q 73 72 71 70 69 68 67 + 23 q + 32 q + 36 q + 42 q + 53 q + 59 q + 74 q 66 65 64 63 62 61 + 79 q + 98 q + 112 q + 132 q + 139 q + 176 q 60 59 58 57 56 55 + 179 q + 226 q + 229 q + 287 q + 287 q + 355 q 54 53 52 51 50 49 + 346 q + 424 q + 429 q + 504 q + 503 q + 609 q 48 47 46 45 44 43 + 585 q + 696 q + 699 q + 784 q + 791 q + 898 q 42 41 40 39 38 37 + 876 q + 982 q + 993 q + 1061 q + 1080 q + 1158 q 36 35 34 33 32 + 1141 q + 1214 q + 1229 q + 1211 q + 1262 q 31 30 29 28 27 + 1251 q + 1238 q + 1240 q + 1218 q + 1111 q 26 25 24 23 22 21 + 1157 q + 1036 q + 981 q + 880 q + 867 q + 654 q 20 19 18 17 16 15 + 662 q + 505 q + 406 q + 341 q + 240 q + 180 q 14 13 12 11 10 8\ 16 / 96 + 92 q + 90 q + 21 q + 21 q + 7 q + q / x + \q 95 94 93 92 91 90 89 88 + q + 2 q + q + 3 q + 4 q + 4 q + 6 q + 9 q 87 86 85 84 83 82 81 + 13 q + 16 q + 22 q + 25 q + 33 q + 37 q + 47 q 80 79 78 77 76 75 + 56 q + 72 q + 73 q + 96 q + 108 q + 131 q 74 73 72 71 70 69 + 144 q + 188 q + 189 q + 236 q + 261 q + 297 q 68 67 66 65 64 63 + 324 q + 400 q + 396 q + 479 q + 525 q + 584 q 62 61 60 59 58 57 + 618 q + 733 q + 746 q + 864 q + 929 q + 1000 q 56 55 54 53 52 + 1054 q + 1220 q + 1218 q + 1352 q + 1470 q 51 50 49 48 47 + 1531 q + 1608 q + 1798 q + 1804 q + 1934 q 46 45 44 43 42 + 2063 q + 2115 q + 2192 q + 2374 q + 2357 q 41 40 39 38 37 + 2441 q + 2616 q + 2577 q + 2646 q + 2748 q 36 35 34 33 32 + 2728 q + 2699 q + 2828 q + 2659 q + 2701 q 31 30 29 28 27 + 2646 q + 2605 q + 2361 q + 2452 q + 2144 q 26 25 24 23 22 + 2079 q + 1851 q + 1786 q + 1372 q + 1444 q 21 20 19 18 17 16 + 1005 q + 1009 q + 616 q + 682 q + 321 q + 343 q 15 14 13 12 10\ 17 / 108 + 162 q + 133 q + 42 q + 49 q + 8 q / x + \q 105 104 103 102 101 100 99 + 2 q + q + 3 q + 6 q + 8 q + 8 q + 18 q 98 97 96 95 94 93 92 + 13 q + 22 q + 29 q + 33 q + 34 q + 57 q + 51 q 91 90 89 88 87 86 + 71 q + 91 q + 103 q + 110 q + 158 q + 155 q 85 84 83 82 81 80 + 189 q + 240 q + 244 q + 281 q + 365 q + 372 q 79 78 77 76 75 74 + 415 q + 516 q + 530 q + 610 q + 714 q + 768 q 73 72 71 70 69 + 821 q + 1019 q + 999 q + 1158 q + 1296 q 68 67 66 65 64 + 1388 q + 1445 q + 1760 q + 1719 q + 1963 q 63 62 61 60 59 + 2102 q + 2283 q + 2337 q + 2776 q + 2677 q 58 57 56 55 54 + 3004 q + 3192 q + 3399 q + 3423 q + 3943 q 53 52 51 50 49 + 3827 q + 4197 q + 4385 q + 4601 q + 4626 q 48 47 46 45 44 + 5117 q + 5004 q + 5302 q + 5505 q + 5616 q 43 42 41 40 39 + 5602 q + 5984 q + 5871 q + 5985 q + 6131 q 38 37 36 35 34 + 6033 q + 6007 q + 6082 q + 5921 q + 5709 q 33 32 31 30 29 + 5755 q + 5427 q + 5225 q + 4976 q + 4719 q 28 27 26 25 24 + 4194 q + 4087 q + 3538 q + 3213 q + 2724 q 23 22 21 20 19 + 2498 q + 1910 q + 1631 q + 1332 q + 899 q 18 17 16 15 14 13 + 769 q + 454 q + 357 q + 147 q + 147 q + 28 q 12 11 9\ 18 / 119 118 117 116 + 28 q + 8 q + q / x + \q + q + 3 q + 3 q 115 114 113 112 111 110 + 6 q + 6 q + 9 q + 11 q + 15 q + 16 q 109 108 107 106 105 104 + 23 q + 27 q + 38 q + 45 q + 55 q + 69 q 103 102 101 100 99 98 + 82 q + 100 q + 115 q + 138 q + 166 q + 194 q 97 96 95 94 93 92 + 223 q + 261 q + 296 q + 352 q + 389 q + 468 q 91 90 89 88 87 86 + 522 q + 605 q + 656 q + 783 q + 841 q + 980 q 85 84 83 82 81 + 1065 q + 1218 q + 1312 q + 1518 q + 1609 q 80 79 78 77 76 + 1832 q + 1965 q + 2219 q + 2353 q + 2675 q 75 74 73 72 71 + 2803 q + 3152 q + 3328 q + 3680 q + 3882 q 70 69 68 67 66 + 4316 q + 4467 q + 4948 q + 5190 q + 5624 q 65 64 63 62 61 + 5882 q + 6419 q + 6619 q + 7191 q + 7482 q 60 59 58 57 56 + 7966 q + 8267 q + 8856 q + 9035 q + 9660 q 55 54 53 52 51 + 9968 q + 10383 q + 10754 q + 11273 q + 11422 q 50 49 48 47 46 + 11979 q + 12215 q + 12488 q + 12778 q + 13107 q 45 44 43 42 41 + 13143 q + 13416 q + 13545 q + 13441 q + 13667 q 40 39 38 37 36 + 13516 q + 13316 q + 13199 q + 13059 q + 12380 q 35 34 33 32 31 + 12406 q + 11601 q + 11234 q + 10504 q + 10118 q 30 29 28 27 26 + 8858 q + 8664 q + 7451 q + 6898 q + 5730 q 25 24 23 22 21 + 5452 q + 3936 q + 3906 q + 2598 q + 2446 q 20 19 18 17 16 15 + 1459 q + 1408 q + 700 q + 602 q + 301 q + 204 q 14 13 11\ 19 / 133 132 131 130 + 64 q + 64 q + 9 q / x + \q + q + 2 q + q 129 128 127 126 125 124 + 3 q + 4 q + 5 q + 6 q + 9 q + 15 q 123 122 121 120 119 118 + 17 q + 25 q + 31 q + 41 q + 45 q + 65 q 117 116 115 114 113 + 69 q + 95 q + 103 q + 131 q + 143 q 112 111 110 109 108 + 191 q + 200 q + 263 q + 288 q + 350 q 107 106 105 104 103 + 385 q + 478 q + 509 q + 627 q + 688 q 102 101 100 99 98 + 792 q + 880 q + 1059 q + 1115 q + 1296 q 97 96 95 94 93 + 1448 q + 1616 q + 1790 q + 2040 q + 2201 q 92 91 90 89 88 + 2474 q + 2769 q + 2983 q + 3318 q + 3672 q 87 86 85 84 83 + 3967 q + 4309 q + 4849 q + 5076 q + 5633 q 82 81 80 79 78 + 6092 q + 6581 q + 7003 q + 7823 q + 8049 q 77 76 75 74 73 + 8905 q + 9450 q + 10194 q + 10603 q + 11788 q 72 71 70 69 68 + 11978 q + 13110 q + 13721 q + 14644 q + 15090 q 67 66 65 64 63 + 16565 q + 16689 q + 18063 q + 18674 q + 19743 q 62 61 60 59 58 + 20139 q + 21820 q + 21825 q + 23176 q + 23844 q 57 56 55 54 53 + 24795 q + 25099 q + 26713 q + 26581 q + 27701 q 52 51 50 49 48 + 28280 q + 28874 q + 28975 q + 30115 q + 29771 q 47 46 45 44 43 + 30276 q + 30612 q + 30465 q + 30180 q + 30520 q 42 41 40 39 38 + 29845 q + 29326 q + 29151 q + 28035 q + 27241 q 37 36 35 34 33 + 26427 q + 25243 q + 23629 q + 22845 q + 20971 q 32 31 30 29 28 + 19458 q + 17809 q + 16327 q + 14090 q + 12945 q 27 26 25 24 23 + 10894 q + 9366 q + 7751 q + 6433 q + 5058 q 22 21 20 19 18 + 3727 q + 3135 q + 1862 q + 1569 q + 819 q 17 16 15 14 13 12 10\ + 644 q + 226 q + 224 q + 36 q + 36 q + 9 q + q / 20 x ---------------------------- The list of length 21 whose i-th entry is the enumerating function for the area under paths of length i-1 with steps {[1,1],[1,-1],\ [1,2],[1,0]} is [ 3 2 [1, 1, q + 1, q + q + 2 q + 1, 5 4 3 2 q + 2 q + 3 q + 3 q + 3 q + 1, 8 7 6 5 4 3 2 12 q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q + 7 q + 6 q + 4 q + 1, q 11 10 9 8 7 6 5 4 + q + 3 q + 5 q + 8 q + 10 q + 13 q + 16 q + 17 q 3 2 16 15 14 13 + 14 q + 10 q + 5 q + 1, q + 2 q + 4 q + 6 q 12 11 10 9 8 7 6 + 10 q + 14 q + 20 q + 25 q + 31 q + 35 q + 39 q 5 4 3 2 21 20 19 + 40 q + 35 q + 25 q + 15 q + 6 q + 1, q + 2 q + 4 q 18 17 16 15 14 13 12 + 6 q + 11 q + 17 q + 24 q + 32 q + 43 q + 54 q 11 10 9 8 7 6 5 + 66 q + 78 q + 88 q + 96 q + 99 q + 97 q + 86 q 4 3 2 27 26 25 24 + 65 q + 41 q + 21 q + 7 q + 1, q + q + 3 q + 6 q 23 22 21 20 19 18 17 + 10 q + 15 q + 24 q + 34 q + 48 q + 63 q + 84 q 16 15 14 13 12 11 + 106 q + 131 q + 155 q + 183 q + 208 q + 232 q 10 9 8 7 6 5 + 249 q + 259 q + 258 q + 243 q + 213 q + 167 q 4 3 2 33 32 31 + 112 q + 63 q + 28 q + 8 q + 1, q + 2 q + 4 q 30 29 28 27 26 25 24 + 7 q + 12 q + 19 q + 29 q + 42 q + 61 q + 84 q 23 22 21 20 19 18 + 111 q + 145 q + 186 q + 232 q + 283 q + 339 q 17 16 15 14 13 12 + 402 q + 463 q + 523 q + 580 q + 634 q + 674 q 11 10 9 8 7 6 + 699 q + 700 q + 677 q + 623 q + 538 q + 427 q 5 4 3 2 40 39 + 301 q + 182 q + 92 q + 36 q + 9 q + 1, q + 2 q 38 37 36 35 34 33 32 + 4 q + 7 q + 12 q + 20 q + 31 q + 46 q + 67 q 31 30 29 28 27 26 + 94 q + 129 q + 172 q + 227 q + 292 q + 370 q 25 24 23 22 21 20 + 461 q + 564 q + 678 q + 807 q + 943 q + 1089 q 19 18 17 16 15 + 1238 q + 1390 q + 1537 q + 1671 q + 1786 q 14 13 12 11 10 + 1879 q + 1937 q + 1946 q + 1899 q + 1789 q 9 8 7 6 5 4 + 1617 q + 1382 q + 1100 q + 798 q + 512 q + 282 q 3 2 48 47 46 45 + 129 q + 45 q + 10 q + 1, q + q + 3 q + 6 q 44 43 42 41 40 39 + 11 q + 17 q + 28 q + 42 q + 64 q + 91 q 38 37 36 35 34 33 + 128 q + 176 q + 240 q + 316 q + 412 q + 528 q 32 31 30 29 28 + 668 q + 830 q + 1021 q + 1238 q + 1487 q 27 26 25 24 23 + 1760 q + 2063 q + 2390 q + 2738 q + 3099 q 22 21 20 19 18 + 3476 q + 3852 q + 4225 q + 4575 q + 4898 q 17 16 15 14 13 + 5168 q + 5371 q + 5489 q + 5509 q + 5402 q 12 11 10 9 8 7 + 5155 q + 4763 q + 4235 q + 3590 q + 2861 q + 2110 q 6 5 4 3 2 56 + 1410 q + 831 q + 420 q + 175 q + 55 q + 11 q + 1, q 55 54 53 52 51 50 49 + 2 q + 4 q + 7 q + 13 q + 21 q + 33 q + 50 q 48 47 46 45 44 43 + 76 q + 109 q + 155 q + 215 q + 294 q + 392 q 42 41 40 39 38 37 + 517 q + 671 q + 863 q + 1090 q + 1363 q + 1685 q 36 35 34 33 32 + 2064 q + 2495 q + 2989 q + 3546 q + 4171 q 31 30 29 28 27 + 4857 q + 5607 q + 6417 q + 7285 q + 8193 q 26 25 24 23 22 + 9139 q + 10104 q + 11074 q + 12029 q + 12949 q 21 20 19 18 17 + 13802 q + 14563 q + 15186 q + 15641 q + 15878 q 16 15 14 13 12 + 15865 q + 15568 q + 14960 q + 14014 q + 12743 q 11 10 9 8 7 6 + 11183 q + 9404 q + 7498 q + 5592 q + 3840 q + 2379 q 5 4 3 2 65 64 + 1297 q + 605 q + 231 q + 66 q + 12 q + 1, q + 2 q 63 62 61 60 59 58 57 + 4 q + 7 q + 13 q + 21 q + 34 q + 52 q + 79 q 56 55 54 53 52 51 + 115 q + 165 q + 230 q + 319 q + 432 q + 577 q 50 49 48 47 46 + 759 q + 991 q + 1272 q + 1617 q + 2032 q 45 44 43 42 41 + 2532 q + 3119 q + 3809 q + 4609 q + 5537 q 40 39 38 37 36 + 6592 q + 7784 q + 9122 q + 10618 q + 12261 q 35 34 33 32 31 + 14056 q + 16002 q + 18097 q + 20320 q + 22661 q 30 29 28 27 26 + 25097 q + 27616 q + 30171 q + 32726 q + 35243 q 25 24 23 22 21 + 37674 q + 39951 q + 42019 q + 43801 q + 45220 q 20 19 18 17 16 + 46182 q + 46596 q + 46384 q + 45470 q + 43806 q 15 14 13 12 11 + 41366 q + 38154 q + 34226 q + 29716 q + 24815 q 10 9 8 7 6 + 19771 q + 14866 q + 10411 q + 6686 q + 3861 q 5 4 3 2 75 74 + 1958 q + 847 q + 298 q + 78 q + 13 q + 1, q + q 73 72 71 70 69 68 67 + 3 q + 6 q + 11 q + 18 q + 30 q + 46 q + 71 q 66 65 64 63 62 61 + 105 q + 153 q + 217 q + 306 q + 419 q + 570 q 60 59 58 57 56 + 762 q + 1009 q + 1315 q + 1701 q + 2171 q 55 54 53 52 51 + 2751 q + 3447 q + 4287 q + 5281 q + 6461 q 50 49 48 47 46 + 7834 q + 9439 q + 11282 q + 13400 q + 15801 q 45 44 43 42 41 + 18521 q + 21559 q + 24954 q + 28701 q + 32826 q 40 39 38 37 36 + 37314 q + 42183 q + 47411 q + 53002 q + 58907 q 35 34 33 32 31 + 65117 q + 71579 q + 78256 q + 85065 q + 91952 q 30 29 28 27 + 98816 q + 105576 q + 112085 q + 118234 q 26 25 24 23 + 123869 q + 128839 q + 132954 q + 136048 q 22 21 20 19 + 137914 q + 138369 q + 137210 q + 134295 q 18 17 16 15 + 129520 q + 122842 q + 114296 q + 104014 q 14 13 12 11 10 + 92237 q + 79352 q + 65877 q + 52421 q + 39641 q 9 8 7 6 5 4 + 28179 q + 18590 q + 11209 q + 6061 q + 2872 q + 1157 q 3 2 85 84 83 82 + 377 q + 91 q + 14 q + 1, q + 2 q + 4 q + 7 q 81 80 79 78 77 76 + 13 q + 22 q + 35 q + 54 q + 83 q + 123 q 75 74 73 72 71 70 + 179 q + 254 q + 358 q + 495 q + 673 q + 904 q 69 68 67 66 65 + 1202 q + 1579 q + 2052 q + 2641 q + 3370 q 64 63 62 61 60 + 4262 q + 5343 q + 6645 q + 8206 q + 10060 q 59 58 57 56 55 + 12244 q + 14803 q + 17787 q + 21238 q + 25206 q 54 53 52 51 50 + 29741 q + 34900 q + 40727 q + 47271 q + 54581 q 49 48 47 46 45 + 62707 q + 71678 q + 81531 q + 92290 q + 103980 q 44 43 42 41 + 116596 q + 130142 q + 144593 q + 159925 q 40 39 38 37 + 176071 q + 192970 q + 210533 q + 228652 q 36 35 34 33 + 247174 q + 265960 q + 284822 q + 303551 q 32 31 30 29 + 321894 q + 339587 q + 356325 q + 371775 q 28 27 26 25 + 385535 q + 397237 q + 406456 q + 412760 q 24 23 22 21 + 415701 q + 414875 q + 409879 q + 400397 q 20 19 18 17 + 386191 q + 367219 q + 343596 q + 315648 q 16 15 14 13 + 283935 q + 249281 q + 212771 q + 175739 q 12 11 10 9 8 + 139661 q + 106037 q + 76241 q + 51359 q + 32011 q 7 6 5 4 3 2 + 18185 q + 9243 q + 4108 q + 1547 q + 469 q + 105 q 96 95 94 93 92 91 + 15 q + 1, q + 2 q + 4 q + 7 q + 13 q + 22 q 90 89 88 87 86 85 + 35 q + 55 q + 85 q + 126 q + 184 q + 264 q 84 83 82 81 80 79 + 373 q + 518 q + 710 q + 961 q + 1289 q + 1705 q 78 77 76 75 74 + 2234 q + 2900 q + 3735 q + 4763 q + 6028 q 73 72 71 70 69 + 7572 q + 9445 q + 11693 q + 14385 q + 17581 q 68 67 66 65 64 + 21364 q + 25800 q + 30984 q + 37004 q + 43969 q 63 62 61 60 59 + 51960 q + 61106 q + 71511 q + 83301 q + 96572 q 58 57 56 55 + 111463 q + 128078 q + 146551 q + 166963 q 54 53 52 51 + 189436 q + 214054 q + 240914 q + 270048 q 50 49 48 47 + 301536 q + 335386 q + 371616 q + 410175 q 46 45 44 43 + 451034 q + 494085 q + 539227 q + 586267 q 42 41 40 39 + 635014 q + 685201 q + 736538 q + 788638 q 38 37 36 35 + 841117 q + 893477 q + 945200 q + 995679 q 34 33 32 31 + 1044262 q + 1090188 q + 1132672 q + 1170818 q 30 29 28 27 + 1203711 q + 1230336 q + 1249679 q + 1260733 q 26 25 24 23 + 1262504 q + 1254046 q + 1234548 q + 1203368 q 22 21 20 19 + 1160099 q + 1104667 q + 1037419 q + 959229 q 18 17 16 15 + 871460 q + 776023 q + 675380 q + 572500 q 14 13 12 11 + 470734 q + 373608 q + 284510 q + 206373 q 10 9 8 7 6 + 141331 q + 90425 q + 53391 q + 28665 q + 13741 q 5 4 3 2 108 107 + 5747 q + 2030 q + 575 q + 120 q + 16 q + 1, q + q 106 105 104 103 102 101 + 3 q + 6 q + 11 q + 18 q + 31 q + 48 q 100 99 98 97 96 95 + 75 q + 112 q + 166 q + 240 q + 345 q + 481 q 94 93 92 91 90 + 668 q + 913 q + 1236 q + 1650 q + 2187 q 89 88 87 86 85 + 2866 q + 3728 q + 4801 q + 6141 q + 7792 q 84 83 82 81 80 + 9823 q + 12287 q + 15282 q + 18885 q + 23201 q 79 78 77 76 75 + 28328 q + 34413 q + 41574 q + 49977 q + 59765 q 74 73 72 71 70 + 71140 q + 84283 q + 99409 q + 116714 q + 136467 q 69 68 67 66 + 158892 q + 184257 q + 212805 q + 244844 q 65 64 63 62 + 280626 q + 320451 q + 364566 q + 413292 q 61 60 59 58 + 466873 q + 525582 q + 589617 q + 659258 q 57 56 55 54 + 734662 q + 816009 q + 903378 q + 996905 q 53 52 51 50 + 1096578 q + 1202392 q + 1314202 q + 1431907 q 49 48 47 46 + 1555222 q + 1683843 q + 1817303 q + 1955157 q 45 44 43 42 + 2096744 q + 2241364 q + 2388120 q + 2536099 q 41 40 39 38 + 2684164 q + 2831093 q + 2975460 q + 3115799 q 37 36 35 34 + 3250383 q + 3377411 q + 3494865 q + 3600655 q 33 32 31 30 + 3692484 q + 3768009 q + 3824747 q + 3860287 q 29 28 27 26 + 3872158 q + 3858115 q + 3816104 q + 3744429 q 25 24 23 22 + 3641826 q + 3507698 q + 3342186 q + 3146401 q 21 20 19 18 + 2922544 q + 2674072 q + 2405696 q + 2123281 q 17 16 15 14 + 1833777 q + 1545010 q + 1265303 q + 1002943 q 13 12 11 10 + 765511 q + 559168 q + 388007 q + 253526 q 9 8 7 6 5 + 154388 q + 86568 q + 44046 q + 19971 q + 7883 q 4 3 2 120 119 118 + 2620 q + 696 q + 136 q + 17 q + 1, q + 2 q + 4 q 117 116 115 114 113 112 + 7 q + 13 q + 22 q + 36 q + 56 q + 87 q 111 110 109 108 107 + 130 q + 192 q + 277 q + 396 q + 555 q 106 105 104 103 102 + 770 q + 1053 q + 1427 q + 1911 q + 2537 q 101 100 99 98 97 + 3333 q + 4348 q + 5623 q + 7219 q + 9198 q 96 95 94 93 92 + 11646 q + 14642 q + 18301 q + 22732 q + 28083 q 91 90 89 88 87 + 34497 q + 42159 q + 51254 q + 62016 q + 74675 q 86 85 84 83 + 89515 q + 106822 q + 126939 q + 150207 q 82 81 80 79 + 177031 q + 207815 q + 243024 q + 283127 q 78 77 76 75 + 328657 q + 380139 q + 438166 q + 503318 q 74 73 72 71 + 576241 q + 657562 q + 747957 q + 848087 q 70 69 68 67 + 958659 q + 1080334 q + 1213809 q + 1359733 q 66 65 64 63 + 1518771 q + 1691517 q + 1878559 q + 2080402 q 62 61 60 59 + 2297539 q + 2530328 q + 2779081 q + 3043982 q 58 57 56 55 + 3325156 q + 3622533 q + 3935949 q + 4265044 q 54 53 52 51 + 4609356 q + 4968166 q + 5340600 q + 5725540 q 50 49 48 47 + 6121711 q + 6527506 q + 6941123 q + 7360464 q 46 45 44 43 + 7783209 q + 8206655 q + 8627842 q + 9043436 q 42 41 40 39 + 9449845 q + 9843059 q + 10218738 q + 10572202 q 38 37 36 35 + 10898491 q + 11192241 q + 11447875 q + 11659553 q 34 33 32 31 + 11821325 q + 11927155 q + 11971126 q + 11947563 q 30 29 28 27 + 11851335 q + 11677935 q + 11423951 q + 11087193 q 26 25 24 23 + 10667083 q + 10164921 q + 9584291 q + 8931271 q 22 21 20 19 + 8214754 q + 7446484 q + 6641035 q + 5815397 q 18 17 16 15 + 4988453 q + 4180304 q + 3411269 q + 2700578 q 14 13 12 11 + 2064905 q + 1516887 q + 1063882 q + 707136 q 10 9 8 7 6 + 441574 q + 256443 q + 136859 q + 66154 q + 28444 q 5 4 3 2 133 + 10624 q + 3332 q + 833 q + 153 q + 18 q + 1, q 132 131 130 129 128 127 + 2 q + 4 q + 7 q + 13 q + 22 q + 36 q 126 125 124 123 122 + 56 q + 88 q + 132 q + 195 q + 282 q 121 120 119 118 117 + 405 q + 570 q + 793 q + 1088 q + 1482 q 116 115 114 113 112 + 1994 q + 2660 q + 3511 q + 4605 q + 5986 q 111 110 109 108 107 + 7726 q + 9897 q + 12605 q + 15941 q + 20044 q 106 105 104 103 + 25049 q + 31143 q + 38503 q + 47367 q 102 101 100 99 + 57971 q + 70633 q + 85654 q + 103416 q 98 97 96 95 + 124315 q + 148842 q + 177471 q + 210793 q 94 93 92 91 + 249410 q + 294037 q + 345389 q + 404303 q 90 89 88 87 + 471633 q + 548378 q + 635518 q + 734176 q 86 85 84 83 + 845499 q + 970776 q + 1111263 q + 1268382 q 82 81 80 79 + 1443545 q + 1638302 q + 1854161 q + 2092773 q 78 77 76 75 + 2355741 q + 2644806 q + 2961595 q + 3307846 q 74 73 72 71 + 3685219 q + 4095440 q + 4540050 q + 5020682 q 70 69 68 67 + 5538770 q + 6095753 q + 6692811 q + 7331105 q 66 65 64 63 + 8011497 q + 8734792 q + 9501382 q + 10311561 q 62 61 60 59 + 11165220 q + 12062039 q + 13001174 q + 13981597 q 58 57 56 55 + 15001719 q + 16059617 q + 17152739 q + 18278191 q 54 53 52 51 + 19432415 q + 20611397 q + 21810360 q + 23024060 q 50 49 48 47 + 24246490 q + 25471012 q + 26690146 q + 27895833 q 46 45 44 43 + 29079115 q + 30230286 q + 31338739 q + 32393179 q 42 41 40 39 + 33381453 q + 34290683 q + 35107203 q + 35816923 q 38 37 36 35 + 36405200 q + 36857120 q + 37157682 q + 37292211 q 34 33 32 31 + 37246593 q + 37007785 q + 36564249 q + 35906693 q 30 29 28 27 + 35028573 q + 33926777 q + 32602399 q + 31061318 q 26 25 24 23 + 29314861 q + 27380355 q + 25281566 q + 23048846 q 22 21 20 19 + 20718989 q + 18334512 q + 15942510 q + 13592844 q 18 17 16 15 + 11336059 q + 9220860 q + 7291106 q + 5582611 q 14 13 12 11 + 4120191 q + 2915387 q + 1965311 q + 1252902 q 10 9 8 7 6 + 748898 q + 415531 q + 211502 q + 97340 q + 39780 q 5 4 3 2 ] + 14093 q + 4182 q + 987 q + 171 q + 19 q + 1] Note: this gives us the following enumerating function for areas under such paths of length 0 through 20 2 / 3 2 \ 3 1 + x + (q + 1) x + \q + q + 2 q + 1/ x / 5 4 3 2 \ 4 + \q + 2 q + 3 q + 3 q + 3 q + 1/ x / 8 7 6 5 4 3 2 \ 5 + \q + 2 q + 3 q + 5 q + 7 q + 7 q + 6 q + 4 q + 1/ x + / 12 11 10 9 8 7 6 5 \q + q + 3 q + 5 q + 8 q + 10 q + 13 q + 16 q 4 3 2 \ 6 / 16 15 14 + 17 q + 14 q + 10 q + 5 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q 13 12 11 10 9 8 7 + 6 q + 10 q + 14 q + 20 q + 25 q + 31 q + 35 q 6 5 4 3 2 \ 7 / 21 + 39 q + 40 q + 35 q + 25 q + 15 q + 6 q + 1/ x + \q 20 19 18 17 16 15 14 + 2 q + 4 q + 6 q + 11 q + 17 q + 24 q + 32 q 13 12 11 10 9 8 7 + 43 q + 54 q + 66 q + 78 q + 88 q + 96 q + 99 q 6 5 4 3 2 \ 8 / 27 + 97 q + 86 q + 65 q + 41 q + 21 q + 7 q + 1/ x + \q 26 25 24 23 22 21 20 + q + 3 q + 6 q + 10 q + 15 q + 24 q + 34 q 19 18 17 16 15 14 + 48 q + 63 q + 84 q + 106 q + 131 q + 155 q 13 12 11 10 9 8 + 183 q + 208 q + 232 q + 249 q + 259 q + 258 q 7 6 5 4 3 2 \ + 243 q + 213 q + 167 q + 112 q + 63 q + 28 q + 8 q + 1/ 9 / 33 32 31 30 29 28 27 x + \q + 2 q + 4 q + 7 q + 12 q + 19 q + 29 q 26 25 24 23 22 21 + 42 q + 61 q + 84 q + 111 q + 145 q + 186 q 20 19 18 17 16 15 + 232 q + 283 q + 339 q + 402 q + 463 q + 523 q 14 13 12 11 10 9 + 580 q + 634 q + 674 q + 699 q + 700 q + 677 q 8 7 6 5 4 3 2 + 623 q + 538 q + 427 q + 301 q + 182 q + 92 q + 36 q \ 10 / 40 39 38 37 36 + 9 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q + 7 q + 12 q 35 34 33 32 31 30 + 20 q + 31 q + 46 q + 67 q + 94 q + 129 q 29 28 27 26 25 24 + 172 q + 227 q + 292 q + 370 q + 461 q + 564 q 23 22 21 20 19 18 + 678 q + 807 q + 943 q + 1089 q + 1238 q + 1390 q 17 16 15 14 13 + 1537 q + 1671 q + 1786 q + 1879 q + 1937 q 12 11 10 9 8 7 + 1946 q + 1899 q + 1789 q + 1617 q + 1382 q + 1100 q 6 5 4 3 2 \ 11 + 798 q + 512 q + 282 q + 129 q + 45 q + 10 q + 1/ x + / 48 47 46 45 44 43 42 41 \q + q + 3 q + 6 q + 11 q + 17 q + 28 q + 42 q 40 39 38 37 36 35 + 64 q + 91 q + 128 q + 176 q + 240 q + 316 q 34 33 32 31 30 29 + 412 q + 528 q + 668 q + 830 q + 1021 q + 1238 q 28 27 26 25 24 + 1487 q + 1760 q + 2063 q + 2390 q + 2738 q 23 22 21 20 19 + 3099 q + 3476 q + 3852 q + 4225 q + 4575 q 18 17 16 15 14 + 4898 q + 5168 q + 5371 q + 5489 q + 5509 q 13 12 11 10 9 + 5402 q + 5155 q + 4763 q + 4235 q + 3590 q 8 7 6 5 4 3 + 2861 q + 2110 q + 1410 q + 831 q + 420 q + 175 q 2 \ 12 / 56 55 54 53 + 55 q + 11 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q + 7 q 52 51 50 49 48 47 + 13 q + 21 q + 33 q + 50 q + 76 q + 109 q 46 45 44 43 42 41 + 155 q + 215 q + 294 q + 392 q + 517 q + 671 q 40 39 38 37 36 + 863 q + 1090 q + 1363 q + 1685 q + 2064 q 35 34 33 32 31 + 2495 q + 2989 q + 3546 q + 4171 q + 4857 q 30 29 28 27 26 + 5607 q + 6417 q + 7285 q + 8193 q + 9139 q 25 24 23 22 21 + 10104 q + 11074 q + 12029 q + 12949 q + 13802 q 20 19 18 17 16 + 14563 q + 15186 q + 15641 q + 15878 q + 15865 q 15 14 13 12 11 + 15568 q + 14960 q + 14014 q + 12743 q + 11183 q 10 9 8 7 6 5 + 9404 q + 7498 q + 5592 q + 3840 q + 2379 q + 1297 q 4 3 2 \ 13 / 65 64 + 605 q + 231 q + 66 q + 12 q + 1/ x + \q + 2 q 63 62 61 60 59 58 57 + 4 q + 7 q + 13 q + 21 q + 34 q + 52 q + 79 q 56 55 54 53 52 51 + 115 q + 165 q + 230 q + 319 q + 432 q + 577 q 50 49 48 47 46 + 759 q + 991 q + 1272 q + 1617 q + 2032 q 45 44 43 42 41 + 2532 q + 3119 q + 3809 q + 4609 q + 5537 q 40 39 38 37 36 + 6592 q + 7784 q + 9122 q + 10618 q + 12261 q 35 34 33 32 31 + 14056 q + 16002 q + 18097 q + 20320 q + 22661 q 30 29 28 27 26 + 25097 q + 27616 q + 30171 q + 32726 q + 35243 q 25 24 23 22 21 + 37674 q + 39951 q + 42019 q + 43801 q + 45220 q 20 19 18 17 16 + 46182 q + 46596 q + 46384 q + 45470 q + 43806 q 15 14 13 12 11 + 41366 q + 38154 q + 34226 q + 29716 q + 24815 q 10 9 8 7 6 + 19771 q + 14866 q + 10411 q + 6686 q + 3861 q 5 4 3 2 \ 14 / 75 + 1958 q + 847 q + 298 q + 78 q + 13 q + 1/ x + \q 74 73 72 71 70 69 68 + q + 3 q + 6 q + 11 q + 18 q + 30 q + 46 q 67 66 65 64 63 62 + 71 q + 105 q + 153 q + 217 q + 306 q + 419 q 61 60 59 58 57 + 570 q + 762 q + 1009 q + 1315 q + 1701 q 56 55 54 53 52 + 2171 q + 2751 q + 3447 q + 4287 q + 5281 q 51 50 49 48 47 + 6461 q + 7834 q + 9439 q + 11282 q + 13400 q 46 45 44 43 42 + 15801 q + 18521 q + 21559 q + 24954 q + 28701 q 41 40 39 38 37 + 32826 q + 37314 q + 42183 q + 47411 q + 53002 q 36 35 34 33 32 + 58907 q + 65117 q + 71579 q + 78256 q + 85065 q 31 30 29 28 27 + 91952 q + 98816 q + 105576 q + 112085 q + 118234 q 26 25 24 23 + 123869 q + 128839 q + 132954 q + 136048 q 22 21 20 19 + 137914 q + 138369 q + 137210 q + 134295 q 18 17 16 15 + 129520 q + 122842 q + 114296 q + 104014 q 14 13 12 11 10 + 92237 q + 79352 q + 65877 q + 52421 q + 39641 q 9 8 7 6 5 4 + 28179 q + 18590 q + 11209 q + 6061 q + 2872 q + 1157 q 3 2 \ 15 / 85 84 83 + 377 q + 91 q + 14 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q 82 81 80 79 78 77 76 + 7 q + 13 q + 22 q + 35 q + 54 q + 83 q + 123 q 75 74 73 72 71 70 + 179 q + 254 q + 358 q + 495 q + 673 q + 904 q 69 68 67 66 65 + 1202 q + 1579 q + 2052 q + 2641 q + 3370 q 64 63 62 61 60 + 4262 q + 5343 q + 6645 q + 8206 q + 10060 q 59 58 57 56 55 + 12244 q + 14803 q + 17787 q + 21238 q + 25206 q 54 53 52 51 50 + 29741 q + 34900 q + 40727 q + 47271 q + 54581 q 49 48 47 46 45 + 62707 q + 71678 q + 81531 q + 92290 q + 103980 q 44 43 42 41 + 116596 q + 130142 q + 144593 q + 159925 q 40 39 38 37 + 176071 q + 192970 q + 210533 q + 228652 q 36 35 34 33 + 247174 q + 265960 q + 284822 q + 303551 q 32 31 30 29 + 321894 q + 339587 q + 356325 q + 371775 q 28 27 26 25 + 385535 q + 397237 q + 406456 q + 412760 q 24 23 22 21 + 415701 q + 414875 q + 409879 q + 400397 q 20 19 18 17 + 386191 q + 367219 q + 343596 q + 315648 q 16 15 14 13 + 283935 q + 249281 q + 212771 q + 175739 q 12 11 10 9 8 + 139661 q + 106037 q + 76241 q + 51359 q + 32011 q 7 6 5 4 3 2 + 18185 q + 9243 q + 4108 q + 1547 q + 469 q + 105 q \ 16 / 96 95 94 93 92 + 15 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q + 7 q + 13 q 91 90 89 88 87 86 + 22 q + 35 q + 55 q + 85 q + 126 q + 184 q 85 84 83 82 81 80 + 264 q + 373 q + 518 q + 710 q + 961 q + 1289 q 79 78 77 76 75 + 1705 q + 2234 q + 2900 q + 3735 q + 4763 q 74 73 72 71 70 + 6028 q + 7572 q + 9445 q + 11693 q + 14385 q 69 68 67 66 65 + 17581 q + 21364 q + 25800 q + 30984 q + 37004 q 64 63 62 61 60 + 43969 q + 51960 q + 61106 q + 71511 q + 83301 q 59 58 57 56 + 96572 q + 111463 q + 128078 q + 146551 q 55 54 53 52 + 166963 q + 189436 q + 214054 q + 240914 q 51 50 49 48 + 270048 q + 301536 q + 335386 q + 371616 q 47 46 45 44 + 410175 q + 451034 q + 494085 q + 539227 q 43 42 41 40 + 586267 q + 635014 q + 685201 q + 736538 q 39 38 37 36 + 788638 q + 841117 q + 893477 q + 945200 q 35 34 33 32 + 995679 q + 1044262 q + 1090188 q + 1132672 q 31 30 29 28 + 1170818 q + 1203711 q + 1230336 q + 1249679 q 27 26 25 24 + 1260733 q + 1262504 q + 1254046 q + 1234548 q 23 22 21 20 + 1203368 q + 1160099 q + 1104667 q + 1037419 q 19 18 17 16 + 959229 q + 871460 q + 776023 q + 675380 q 15 14 13 12 + 572500 q + 470734 q + 373608 q + 284510 q 11 10 9 8 7 + 206373 q + 141331 q + 90425 q + 53391 q + 28665 q 6 5 4 3 2 \ + 13741 q + 5747 q + 2030 q + 575 q + 120 q + 16 q + 1/ 17 / 108 107 106 105 104 103 x + \q + q + 3 q + 6 q + 11 q + 18 q 102 101 100 99 98 97 + 31 q + 48 q + 75 q + 112 q + 166 q + 240 q 96 95 94 93 92 91 + 345 q + 481 q + 668 q + 913 q + 1236 q + 1650 q 90 89 88 87 86 + 2187 q + 2866 q + 3728 q + 4801 q + 6141 q 85 84 83 82 81 + 7792 q + 9823 q + 12287 q + 15282 q + 18885 q 80 79 78 77 76 + 23201 q + 28328 q + 34413 q + 41574 q + 49977 q 75 74 73 72 71 + 59765 q + 71140 q + 84283 q + 99409 q + 116714 q 70 69 68 67 + 136467 q + 158892 q + 184257 q + 212805 q 66 65 64 63 + 244844 q + 280626 q + 320451 q + 364566 q 62 61 60 59 + 413292 q + 466873 q + 525582 q + 589617 q 58 57 56 55 + 659258 q + 734662 q + 816009 q + 903378 q 54 53 52 51 + 996905 q + 1096578 q + 1202392 q + 1314202 q 50 49 48 47 + 1431907 q + 1555222 q + 1683843 q + 1817303 q 46 45 44 43 + 1955157 q + 2096744 q + 2241364 q + 2388120 q 42 41 40 39 + 2536099 q + 2684164 q + 2831093 q + 2975460 q 38 37 36 35 + 3115799 q + 3250383 q + 3377411 q + 3494865 q 34 33 32 31 + 3600655 q + 3692484 q + 3768009 q + 3824747 q 30 29 28 27 + 3860287 q + 3872158 q + 3858115 q + 3816104 q 26 25 24 23 + 3744429 q + 3641826 q + 3507698 q + 3342186 q 22 21 20 19 + 3146401 q + 2922544 q + 2674072 q + 2405696 q 18 17 16 15 + 2123281 q + 1833777 q + 1545010 q + 1265303 q 14 13 12 11 + 1002943 q + 765511 q + 559168 q + 388007 q 10 9 8 7 6 + 253526 q + 154388 q + 86568 q + 44046 q + 19971 q 5 4 3 2 \ 18 / 120 + 7883 q + 2620 q + 696 q + 136 q + 17 q + 1/ x + \q 119 118 117 116 115 114 + 2 q + 4 q + 7 q + 13 q + 22 q + 36 q 113 112 111 110 109 + 56 q + 87 q + 130 q + 192 q + 277 q 108 107 106 105 104 + 396 q + 555 q + 770 q + 1053 q + 1427 q 103 102 101 100 99 + 1911 q + 2537 q + 3333 q + 4348 q + 5623 q 98 97 96 95 94 + 7219 q + 9198 q + 11646 q + 14642 q + 18301 q 93 92 91 90 89 + 22732 q + 28083 q + 34497 q + 42159 q + 51254 q 88 87 86 85 84 + 62016 q + 74675 q + 89515 q + 106822 q + 126939 q 83 82 81 80 + 150207 q + 177031 q + 207815 q + 243024 q 79 78 77 76 + 283127 q + 328657 q + 380139 q + 438166 q 75 74 73 72 + 503318 q + 576241 q + 657562 q + 747957 q 71 70 69 68 + 848087 q + 958659 q + 1080334 q + 1213809 q 67 66 65 64 + 1359733 q + 1518771 q + 1691517 q + 1878559 q 63 62 61 60 + 2080402 q + 2297539 q + 2530328 q + 2779081 q 59 58 57 56 + 3043982 q + 3325156 q + 3622533 q + 3935949 q 55 54 53 52 + 4265044 q + 4609356 q + 4968166 q + 5340600 q 51 50 49 48 + 5725540 q + 6121711 q + 6527506 q + 6941123 q 47 46 45 44 + 7360464 q + 7783209 q + 8206655 q + 8627842 q 43 42 41 40 + 9043436 q + 9449845 q + 9843059 q + 10218738 q 39 38 37 36 + 10572202 q + 10898491 q + 11192241 q + 11447875 q 35 34 33 32 + 11659553 q + 11821325 q + 11927155 q + 11971126 q 31 30 29 28 + 11947563 q + 11851335 q + 11677935 q + 11423951 q 27 26 25 24 + 11087193 q + 10667083 q + 10164921 q + 9584291 q 23 22 21 20 + 8931271 q + 8214754 q + 7446484 q + 6641035 q 19 18 17 16 + 5815397 q + 4988453 q + 4180304 q + 3411269 q 15 14 13 12 + 2700578 q + 2064905 q + 1516887 q + 1063882 q 11 10 9 8 7 + 707136 q + 441574 q + 256443 q + 136859 q + 66154 q 6 5 4 3 2 \ + 28444 q + 10624 q + 3332 q + 833 q + 153 q + 18 q + 1/ 19 / 133 132 131 130 129 128 x + \q + 2 q + 4 q + 7 q + 13 q + 22 q 127 126 125 124 123 122 + 36 q + 56 q + 88 q + 132 q + 195 q + 282 q 121 120 119 118 117 + 405 q + 570 q + 793 q + 1088 q + 1482 q 116 115 114 113 112 + 1994 q + 2660 q + 3511 q + 4605 q + 5986 q 111 110 109 108 107 + 7726 q + 9897 q + 12605 q + 15941 q + 20044 q 106 105 104 103 + 25049 q + 31143 q + 38503 q + 47367 q 102 101 100 99 + 57971 q + 70633 q + 85654 q + 103416 q 98 97 96 95 + 124315 q + 148842 q + 177471 q + 210793 q 94 93 92 91 + 249410 q + 294037 q + 345389 q + 404303 q 90 89 88 87 + 471633 q + 548378 q + 635518 q + 734176 q 86 85 84 83 + 845499 q + 970776 q + 1111263 q + 1268382 q 82 81 80 79 + 1443545 q + 1638302 q + 1854161 q + 2092773 q 78 77 76 75 + 2355741 q + 2644806 q + 2961595 q + 3307846 q 74 73 72 71 + 3685219 q + 4095440 q + 4540050 q + 5020682 q 70 69 68 67 + 5538770 q + 6095753 q + 6692811 q + 7331105 q 66 65 64 63 + 8011497 q + 8734792 q + 9501382 q + 10311561 q 62 61 60 59 + 11165220 q + 12062039 q + 13001174 q + 13981597 q 58 57 56 55 + 15001719 q + 16059617 q + 17152739 q + 18278191 q 54 53 52 51 + 19432415 q + 20611397 q + 21810360 q + 23024060 q 50 49 48 47 + 24246490 q + 25471012 q + 26690146 q + 27895833 q 46 45 44 43 + 29079115 q + 30230286 q + 31338739 q + 32393179 q 42 41 40 39 + 33381453 q + 34290683 q + 35107203 q + 35816923 q 38 37 36 35 + 36405200 q + 36857120 q + 37157682 q + 37292211 q 34 33 32 31 + 37246593 q + 37007785 q + 36564249 q + 35906693 q 30 29 28 27 + 35028573 q + 33926777 q + 32602399 q + 31061318 q 26 25 24 23 + 29314861 q + 27380355 q + 25281566 q + 23048846 q 22 21 20 19 + 20718989 q + 18334512 q + 15942510 q + 13592844 q 18 17 16 15 + 11336059 q + 9220860 q + 7291106 q + 5582611 q 14 13 12 11 + 4120191 q + 2915387 q + 1965311 q + 1252902 q 10 9 8 7 6 + 748898 q + 415531 q + 211502 q + 97340 q + 39780 q 5 4 3 2 \ 20 + 14093 q + 4182 q + 987 q + 171 q + 19 q + 1/ x ---------------------------- The list of length 21 whose i-th entry is the enumerating function for the area under paths of length i-1 with steps {[1,1],[1,-1],\ [1,3],[1,-2],[1,0]} is [ 5 4 3 2 [1, 1, q + 1, q + q + q + q + 2 q + 1, 9 8 7 6 5 4 3 2 q + q + 3 q + 2 q + 4 q + 4 q + 3 q + 3 q + 3 q + 1, 15 13 12 11 10 9 8 7 6 q + q + 2 q + 4 q + 6 q + 8 q + 9 q + 11 q + 10 q 5 4 3 2 21 20 19 + 12 q + 10 q + 7 q + 6 q + 4 q + 1, q + q + 2 q 18 17 16 15 14 13 12 + 4 q + 4 q + 7 q + 10 q + 14 q + 17 q + 24 q 11 10 9 8 7 6 5 + 26 q + 33 q + 34 q + 36 q + 34 q + 31 q + 29 q 4 3 2 28 27 26 25 + 21 q + 14 q + 10 q + 5 q + 1, q + 2 q + 4 q + 5 q 24 23 22 21 20 19 18 + 9 q + 11 q + 16 q + 20 q + 28 q + 34 q + 46 q 17 16 15 14 13 12 + 53 q + 68 q + 77 q + 90 q + 98 q + 112 q 11 10 9 8 7 6 5 + 115 q + 120 q + 114 q + 107 q + 91 q + 77 q + 61 q 4 3 2 38 37 36 35 + 40 q + 25 q + 15 q + 6 q + 1, q + q + 2 q + 2 q 34 33 32 31 30 29 28 + 6 q + 6 q + 13 q + 16 q + 27 q + 33 q + 47 q 27 26 25 24 23 22 + 56 q + 75 q + 92 q + 116 q + 136 q + 163 q 21 20 19 18 17 16 + 189 q + 225 q + 256 q + 289 q + 317 q + 350 q 15 14 13 12 11 10 + 374 q + 393 q + 403 q + 406 q + 390 q + 363 q 9 8 7 6 5 4 3 + 322 q + 273 q + 216 q + 167 q + 117 q + 71 q + 41 q 2 48 47 46 45 44 43 + 21 q + 7 q + 1, q + q + 3 q + 3 q + 7 q + 8 q 42 41 40 39 38 37 36 + 14 q + 18 q + 28 q + 37 q + 53 q + 69 q + 93 q 35 34 33 32 31 30 + 118 q + 154 q + 186 q + 238 q + 284 q + 345 q 29 28 27 26 25 24 + 408 q + 481 q + 558 q + 641 q + 731 q + 825 q 23 22 21 20 19 + 918 q + 1014 q + 1104 q + 1199 q + 1284 q 18 17 16 15 14 + 1347 q + 1405 q + 1436 q + 1442 q + 1414 q 13 12 11 10 9 8 + 1355 q + 1260 q + 1128 q + 972 q + 804 q + 629 q 7 6 5 4 3 2 + 466 q + 330 q + 210 q + 119 q + 63 q + 28 q + 8 q + 1, 60 58 57 56 55 54 53 52 q + q + 2 q + 4 q + 7 q + 12 q + 17 q + 25 q 51 50 49 48 47 46 + 35 q + 49 q + 66 q + 86 q + 115 q + 148 q 45 44 43 42 41 40 + 196 q + 242 q + 314 q + 382 q + 481 q + 578 q 39 38 37 36 35 + 707 q + 836 q + 1007 q + 1169 q + 1380 q 34 33 32 31 30 + 1577 q + 1818 q + 2058 q + 2337 q + 2607 q 29 28 27 26 25 + 2908 q + 3193 q + 3509 q + 3795 q + 4111 q 24 23 22 21 20 + 4371 q + 4642 q + 4859 q + 5064 q + 5207 q 19 18 17 16 15 + 5300 q + 5290 q + 5230 q + 5057 q + 4797 q 14 13 12 11 10 + 4436 q + 3996 q + 3485 q + 2928 q + 2368 q 9 8 7 6 5 4 + 1833 q + 1341 q + 932 q + 609 q + 358 q + 190 q 3 2 72 71 70 69 68 + 92 q + 36 q + 9 q + 1, q + q + 2 q + 4 q + 5 q 67 66 65 64 63 62 61 + 9 q + 14 q + 20 q + 29 q + 45 q + 59 q + 85 q 60 59 58 57 56 55 + 112 q + 154 q + 196 q + 261 q + 326 q + 422 q 54 53 52 51 50 49 + 521 q + 660 q + 800 q + 994 q + 1189 q + 1449 q 48 47 46 45 44 + 1719 q + 2060 q + 2414 q + 2853 q + 3297 q 43 42 41 40 39 + 3844 q + 4388 q + 5049 q + 5707 q + 6477 q 38 37 36 35 34 + 7237 q + 8111 q + 8965 q + 9927 q + 10852 q 33 32 31 30 29 + 11868 q + 12838 q + 13869 q + 14835 q + 15825 q 28 27 26 25 24 + 16710 q + 17587 q + 18314 q + 19005 q + 19490 q 23 22 21 20 19 + 19873 q + 20022 q + 19997 q + 19713 q + 19170 q 18 17 16 15 14 + 18324 q + 17248 q + 15883 q + 14307 q + 12549 q 13 12 11 10 9 + 10698 q + 8818 q + 7002 q + 5347 q + 3895 q 8 7 6 5 4 3 + 2685 q + 1754 q + 1066 q + 585 q + 291 q + 129 q 2 85 84 83 82 81 + 45 q + 10 q + 1, q + 2 q + 4 q + 5 q + 10 q 80 79 78 77 76 75 + 13 q + 22 q + 28 q + 44 q + 55 q + 84 q 74 73 72 71 70 69 + 105 q + 154 q + 195 q + 267 q + 335 q + 451 q 68 67 66 65 64 63 + 558 q + 727 q + 894 q + 1129 q + 1371 q + 1707 q 62 61 60 59 58 + 2055 q + 2506 q + 2985 q + 3588 q + 4235 q 57 56 55 54 53 + 5020 q + 5865 q + 6868 q + 7957 q + 9211 q 52 51 50 49 48 + 10568 q + 12113 q + 13770 q + 15626 q + 17617 q 47 46 45 44 43 + 19789 q + 22111 q + 24618 q + 27262 q + 30089 q 42 41 40 39 38 + 33030 q + 36140 q + 39328 q + 42641 q + 45994 q 37 36 35 34 33 + 49426 q + 52848 q + 56261 q + 59581 q + 62817 q 32 31 30 29 28 + 65882 q + 68725 q + 71287 q + 73487 q + 75291 q 27 26 25 24 23 + 76611 q + 77384 q + 77545 q + 77020 q + 75757 q 22 21 20 19 18 + 73708 q + 70858 q + 67195 q + 62714 q + 57528 q 17 16 15 14 13 + 51782 q + 45577 q + 39153 q + 32719 q + 26530 q 12 11 10 9 8 + 20778 q + 15672 q + 11346 q + 7819 q + 5102 q 7 6 5 4 3 2 + 3141 q + 1788 q + 922 q + 430 q + 175 q + 55 q + 11 q 101 100 99 98 97 96 95 + 1, q + q + 2 q + 2 q + 6 q + 7 q + 14 q 94 93 92 91 90 89 + 18 q + 31 q + 41 q + 64 q + 83 q + 122 q 88 87 86 85 84 83 + 157 q + 218 q + 279 q + 374 q + 475 q + 623 q 82 81 80 79 78 + 781 q + 1003 q + 1247 q + 1576 q + 1935 q 77 76 75 74 73 + 2404 q + 2925 q + 3582 q + 4313 q + 5213 q 72 71 70 69 68 + 6224 q + 7426 q + 8780 q + 10370 q + 12146 q 67 66 65 64 63 + 14202 q + 16490 q + 19109 q + 22011 q + 25280 q 62 61 60 59 58 + 28890 q + 32905 q + 37332 q + 42202 q + 47507 q 57 56 55 54 53 + 53289 q + 59567 q + 66356 q + 73668 q + 81458 q 52 51 50 49 48 + 89802 q + 98622 q + 107991 q + 117786 q + 128105 q 47 46 45 44 + 138761 q + 149887 q + 161285 q + 173032 q 43 42 41 40 + 184890 q + 196949 q + 208975 q + 221008 q 39 38 37 36 + 232754 q + 244264 q + 255211 q + 265678 q 35 34 33 32 + 275239 q + 283948 q + 291395 q + 297634 q 31 30 29 28 + 302202 q + 305181 q + 306103 q + 305060 q 27 26 25 24 + 301651 q + 295966 q + 287712 q + 277024 q 23 22 21 20 + 263743 q + 248108 q + 230230 q + 210436 q 19 18 17 16 + 189057 q + 166723 q + 143988 q + 121477 q 15 14 13 12 11 + 99873 q + 79800 q + 61781 q + 46162 q + 33192 q 10 9 8 7 6 5 + 22860 q + 14968 q + 9274 q + 5397 q + 2894 q + 1408 q 4 3 2 117 116 115 + 616 q + 231 q + 66 q + 12 q + 1, q + q + 3 q 114 113 112 111 110 109 + 3 q + 7 q + 8 q + 15 q + 20 q + 33 q 108 107 106 105 104 103 + 44 q + 66 q + 89 q + 126 q + 171 q + 236 q 102 101 100 99 98 + 309 q + 415 q + 538 q + 698 q + 897 q 97 96 95 94 93 + 1145 q + 1450 q + 1814 q + 2273 q + 2807 q 92 91 90 89 88 + 3480 q + 4249 q + 5203 q + 6292 q + 7627 q 87 86 85 84 83 + 9125 q + 10967 q + 13010 q + 15484 q + 18217 q 82 81 80 79 78 + 21496 q + 25101 q + 29369 q + 34056 q + 39526 q 77 76 75 74 73 + 45508 q + 52424 q + 59943 q + 68577 q + 77918 q 72 71 70 69 68 + 88524 q + 99948 q + 112811 q + 126611 q + 141997 q 67 66 65 64 + 158468 q + 176635 q + 195989 q + 217196 q 63 62 61 60 + 239632 q + 264051 q + 289734 q + 317462 q 59 58 57 56 + 346486 q + 377516 q + 409831 q + 444123 q 55 54 53 52 + 479580 q + 516907 q + 555137 q + 595092 q 51 50 49 48 + 635684 q + 677717 q + 720045 q + 763339 q 47 46 45 44 + 806478 q + 850059 q + 892918 q + 935586 q 43 42 41 40 + 976733 q + 1016907 q + 1054737 q + 1090598 q 39 38 37 36 + 1123201 q + 1152717 q + 1177956 q + 1198940 q 35 34 33 32 + 1214497 q + 1224626 q + 1228215 q + 1225289 q 31 30 29 28 + 1214838 q + 1196989 q + 1171005 q + 1137076 q 27 26 25 24 + 1094882 q + 1044822 q + 987038 q + 922337 q 23 22 21 20 + 851317 q + 775330 q + 695658 q + 613954 q 19 18 17 16 + 532011 q + 451895 q + 375418 q + 304342 q 15 14 13 12 11 + 240165 q + 184008 q + 136444 q + 97571 q + 67068 q 10 9 8 7 6 + 44077 q + 27513 q + 16227 q + 8954 q + 4543 q 5 4 3 2 135 133 + 2091 q + 859 q + 298 q + 78 q + 13 q + 1, q + q 132 131 130 129 128 127 + 2 q + 4 q + 7 q + 12 q + 17 q + 26 q 126 125 124 123 122 121 + 38 q + 57 q + 78 q + 108 q + 148 q + 200 q 120 119 118 117 116 + 273 q + 356 q + 475 q + 618 q + 809 q 115 114 113 112 111 + 1037 q + 1337 q + 1688 q + 2150 q + 2680 q 110 109 108 107 106 + 3371 q + 4155 q + 5155 q + 6294 q + 7724 q 105 104 103 102 + 9345 q + 11352 q + 13615 q + 16386 q 101 100 99 98 97 + 19501 q + 23272 q + 27484 q + 32538 q + 38163 q 96 95 94 93 92 + 44837 q + 52258 q + 60954 q + 70585 q + 81794 q 91 90 89 88 + 94157 q + 108412 q + 124069 q + 141976 q 87 86 85 84 + 161570 q + 183828 q + 208088 q + 235403 q 83 82 81 80 + 265075 q + 298271 q + 334162 q + 374052 q 79 78 77 76 + 417000 q + 464392 q + 515263 q + 571003 q 75 74 73 72 + 630582 q + 695438 q + 764486 q + 839198 q 71 70 69 68 + 918360 q + 1003530 q + 1093278 q + 1189284 q 67 66 65 64 + 1290025 q + 1397045 q + 1508835 q + 1626821 q 63 62 61 60 + 1749377 q + 1877963 q + 2010755 q + 2149159 q 59 58 57 56 + 2291163 q + 2438064 q + 2587858 q + 2741633 q 55 54 53 52 + 2897235 q + 3055489 q + 3214185 q + 3374151 q 51 50 49 48 + 3532798 q + 3690891 q + 3845562 q + 3997334 q 47 46 45 44 + 4143395 q + 4283892 q + 4415955 q + 4539320 q 43 42 41 40 + 4651073 q + 4750859 q + 4835730 q + 4905027 q 39 38 37 36 + 4955958 q + 4987689 q + 4997851 q + 4985447 q 35 34 33 32 + 4948518 q + 4886327 q + 4797496 q + 4681922 q 31 30 29 28 + 4538973 q + 4369305 q + 4173437 q + 3952936 q 27 26 25 24 + 3709741 q + 3446633 q + 3167013 q + 2875068 q 23 22 21 20 + 2575382 q + 2273532 q + 1975060 q + 1685732 q 19 18 17 16 + 1411221 q + 1156713 q + 926331 q + 723184 q 15 14 13 12 + 549076 q + 404369 q + 287927 q + 197552 q 11 10 9 8 7 + 130122 q + 81821 q + 48818 q + 27468 q + 14413 q 6 5 4 3 2 + 6943 q + 3029 q + 1170 q + 377 q + 91 q + 14 q + 1, 153 152 151 150 149 148 147 q + q + 2 q + 4 q + 5 q + 9 q + 14 q 146 145 144 143 142 141 + 21 q + 31 q + 49 q + 64 q + 96 q + 129 q 140 139 138 137 136 + 186 q + 242 q + 339 q + 435 q + 592 q 135 134 133 132 131 + 755 q + 1001 q + 1261 q + 1650 q + 2056 q 130 129 128 127 126 + 2639 q + 3271 q + 4139 q + 5090 q + 6363 q 125 124 123 122 121 + 7759 q + 9592 q + 11615 q + 14205 q + 17089 q 120 119 118 117 + 20700 q + 24725 q + 29692 q + 35248 q 116 115 114 113 + 41978 q + 49522 q + 58542 q + 68641 q 112 111 110 109 + 80577 q + 93942 q + 109553 q + 127024 q 108 107 106 105 + 147228 q + 169791 q + 195657 q + 224488 q 104 103 102 101 + 257272 q + 293731 q + 334869 q + 380493 q 100 99 98 97 + 431616 q + 488143 q + 551132 q + 620479 q 96 95 94 93 + 697312 q + 781607 q + 874500 q + 976046 q 92 91 90 89 + 1087336 q + 1208575 q + 1340764 q + 1484186 q 88 87 86 85 + 1639838 q + 1808025 q + 1989754 q + 2185317 q 84 83 82 81 + 2395623 q + 2621036 q + 2862375 q + 3119965 q 80 79 78 77 + 3394519 q + 3686358 q + 3996006 q + 4323742 q 76 75 74 73 + 4669905 q + 5034738 q + 5418294 q + 5820757 q 72 71 70 69 + 6241822 q + 6681603 q + 7139526 q + 7615416 q 68 67 66 65 + 8108459 q + 8618257 q + 9143490 q + 9683734 q 64 63 62 61 + 10237055 q + 10802796 q + 11378559 q + 11963461 q 60 59 58 57 + 12554501 q + 13150385 q + 13747609 q + 14344621 q 56 55 54 53 + 14937269 q + 15523572 q + 16098547 q + 16659995 q 52 51 50 49 + 17202512 q + 17723082 q + 18215987 q + 18677508 q 48 47 46 45 + 19101437 q + 19483774 q + 19817918 q + 20099652 q 44 43 42 41 + 20322065 q + 20480883 q + 20569667 q + 20584269 q 40 39 38 37 + 20519044 q + 20370439 q + 20133910 q + 19807548 q 36 35 34 33 + 19388364 q + 18876574 q + 18271788 q + 17576814 q 32 31 30 29 + 16794829 q + 15931615 q + 14994201 q + 13992043 q 28 27 26 25 + 12936081 q + 11839602 q + 10717190 q + 9585326 q 24 23 22 21 + 8461089 q + 7362292 q + 6306839 q + 5311186 q 20 19 18 17 + 4390115 q + 3555890 q + 2817231 q + 2178796 q 16 15 14 13 + 1641255 q + 1201360 q + 852184 q + 583938 q 12 11 10 9 8 + 385217 q + 243643 q + 146922 q + 83971 q + 45164 q 7 6 5 4 3 2 + 22594 q + 10361 q + 4291 q + 1561 q + 469 q + 105 q 172 171 170 169 168 + 15 q + 1, q + 2 q + 4 q + 5 q + 10 q 167 166 165 164 163 162 + 13 q + 22 q + 29 q + 46 q + 60 q + 92 q 161 160 159 158 157 + 119 q + 175 q + 228 q + 318 q + 412 q 156 155 154 153 152 + 569 q + 727 q + 976 q + 1243 q + 1626 q 151 150 149 148 147 + 2051 q + 2649 q + 3310 q + 4205 q + 5214 q 146 145 144 143 142 + 6534 q + 8037 q + 9970 q + 12165 q + 14937 q 141 140 139 138 + 18106 q + 22031 q + 26517 q + 32011 q 137 136 135 134 + 38286 q + 45861 q + 54526 q + 64844 q 133 132 131 130 + 76644 q + 90568 q + 106428 q + 124985 q 129 128 127 126 + 146100 q + 170583 q + 198352 q + 230328 q 125 124 123 122 + 266474 q + 307830 q + 354440 q + 407401 q 121 120 119 118 + 466908 q + 534152 q + 609433 q + 694054 q 117 116 115 114 + 788471 q + 894010 q + 1011392 q + 1142017 q 113 112 111 110 + 1286751 q + 1447076 q + 1624099 q + 1819301 q 109 108 107 106 + 2034129 q + 2270048 q + 2528738 q + 2811643 q 105 104 103 102 + 3120816 q + 3457599 q + 3824365 q + 4222364 q 101 100 99 98 + 4654259 q + 5121174 q + 5626139 q + 6170038 q 97 96 95 94 + 6756157 q + 7385227 q + 8060751 q + 8783161 q 93 92 91 90 + 9556289 q + 10380059 q + 11258576 q + 12191332 q 89 88 87 86 + 13182560 q + 14231276 q + 15341698 q + 16512289 q 85 84 83 82 + 17747231 q + 19044475 q + 20407988 q + 21834877 q 81 80 79 78 + 23329020 q + 24886657 q + 26511434 q + 28198632 q 77 76 75 74 + 29951425 q + 31764114 q + 33639355 q + 35570268 q 73 72 71 70 + 37558993 q + 39597357 q + 41686825 q + 43817800 q 69 68 67 66 + 45990963 q + 48195444 q + 50430804 q + 52684694 q 65 64 63 62 + 54955691 q + 57229778 q + 59504396 q + 61763775 q 61 60 59 58 + 64004330 q + 66208345 q + 68370762 q + 70472363 q 57 56 55 54 + 72506723 q + 74452863 q + 76302769 q + 78033935 q 53 52 51 50 + 79637381 q + 81089500 q + 82379592 q + 83483699 q 49 48 47 46 + 84390172 q + 85075439 q + 85527758 q + 85724635 q 45 44 43 42 + 85655309 q + 85299656 q + 84649409 q + 83688727 q 41 40 39 38 + 82412934 q + 80812299 q + 78887612 q + 76637103 q 37 36 35 34 + 74069502 q + 71192396 q + 68024043 q + 64583274 q 33 32 31 30 + 60898821 q + 57001634 q + 52930761 q + 48728547 q 29 28 27 26 + 44443684 q + 40127582 q + 35835567 q + 31623722 q 25 24 23 22 + 27548641 q + 23663838 q + 20019287 q + 16658221 q 21 20 19 18 + 13614638 q + 10912340 q + 8563513 q + 6567883 q 17 16 15 14 + 4913275 q + 3577205 q + 2528770 q + 1730868 q 13 12 11 10 + 1143477 q + 726579 q + 442095 q + 256168 q 9 8 7 6 5 + 140504 q + 72372 q + 34596 q + 15134 q + 5958 q 4 3 2 194 193 192 + 2045 q + 575 q + 120 q + 16 q + 1, q + q + 2 q 191 190 189 188 187 186 + 2 q + 6 q + 7 q + 14 q + 18 q + 32 q 185 184 183 182 181 180 + 42 q + 66 q + 86 q + 130 q + 171 q + 245 q 179 178 177 176 175 + 319 q + 439 q + 567 q + 766 q + 983 q 174 173 172 171 170 + 1297 q + 1651 q + 2143 q + 2712 q + 3464 q 169 168 167 166 165 + 4348 q + 5486 q + 6831 q + 8526 q + 10541 q 164 163 162 161 + 13019 q + 15971 q + 19552 q + 23811 q 160 159 158 157 + 28910 q + 34971 q + 42133 q + 50640 q 156 155 154 153 + 60604 q + 72376 q + 86055 q + 102171 q 152 151 150 149 + 120776 q + 142587 q + 167610 q + 196826 q 148 147 146 145 + 230156 q + 268895 q + 312887 q + 363767 q 144 143 142 141 + 421305 q + 487498 q + 562071 q + 647502 q 140 139 138 137 + 743346 q + 852625 q + 974818 q + 1113478 q 136 135 134 133 + 1268001 q + 1442584 q + 1636503 q + 1854640 q 132 131 130 129 + 2096193 q + 2366716 q + 2665402 q + 2998579 q 128 127 126 125 + 3365292 q + 3772732 q + 4219880 q + 4714754 q 124 123 122 121 + 5256324 q + 5853402 q + 6505015 q + 7220815 q 120 119 118 117 + 7999753 q + 8852368 q + 9777594 q + 10786879 q 116 115 114 + 11878984 q + 13066367 q + 14347681 q 113 112 111 + 15736024 q + 17230087 q + 18843741 q 110 109 108 + 20575507 q + 22439940 q + 24435215 q 107 106 105 + 26576571 q + 28861867 q + 31307045 q 104 103 102 + 33909191 q + 36684707 q + 39630214 q 101 100 99 98 + 42762321 q + 46076967 q + 49590910 q + 53298839 q 97 96 95 94 + 57217651 q + 61341024 q + 65685554 q + 70243443 q 93 92 91 90 + 75030775 q + 80038257 q + 85281302 q + 90748898 q 89 88 87 86 + 96455126 q + 102386952 q + 108557395 q + 114951132 q 85 84 83 + 121579500 q + 128424718 q + 135495785 q 82 81 80 + 142772566 q + 150261737 q + 157940313 q 79 78 77 + 165811942 q + 173850503 q + 182056633 q 76 75 74 + 190401004 q + 198880878 q + 207463079 q 73 72 71 + 216140875 q + 224877739 q + 233662702 q 70 69 68 + 242455352 q + 251239965 q + 259972094 q 67 66 65 + 268631084 q + 277168734 q + 285559079 q 64 63 62 + 293749389 q + 301708595 q + 309379806 q 61 60 59 + 316727202 q + 323689700 q + 330226259 q 58 57 56 + 336272864 q + 341784505 q + 346694954 q 55 54 53 + 350955805 q + 354500041 q + 357278398 q 52 51 50 + 359225055 q + 360291930 q + 360417626 q 49 48 47 + 359558316 q + 357661123 q + 354690853 q 46 45 44 + 350607749 q + 345390004 q + 339015586 q 43 42 41 + 331481982 q + 322790615 q + 312963208 q 40 39 38 + 302029572 q + 290040595 q + 277058854 q 37 36 35 + 263168408 q + 248466391 q + 233070871 q 34 33 32 + 217112936 q + 200742053 q + 184118299 q 31 30 29 + 167414801 q + 150810796 q + 134491037 q 28 27 26 25 + 118638249 q + 103430206 q + 89032425 q + 75593049 q 24 23 22 21 + 63235699 q + 52056280 q + 42116638 q + 33442196 q 20 19 18 17 + 26022062 q + 19810058 q + 14728140 q + 10672521 q 16 15 14 13 + 7521426 q + 5142749 q + 3401953 q + 2170270 q 12 11 10 9 + 1330359 q + 780016 q + 435038 q + 229354 q 8 7 6 5 4 3 + 113330 q + 51868 q + 21681 q + 8124 q + 2636 q + 696 q 2 216 215 214 213 212 + 136 q + 17 q + 1, q + q + 3 q + 3 q + 7 q 211 210 209 208 207 206 + 8 q + 15 q + 20 q + 33 q + 45 q + 68 q 205 204 203 202 201 + 93 q + 134 q + 182 q + 256 q + 339 q 200 199 198 197 196 + 464 q + 613 q + 815 q + 1066 q + 1394 q 195 194 193 192 191 + 1798 q + 2315 q + 2957 q + 3757 q + 4753 q 190 189 188 187 186 + 5974 q + 7488 q + 9324 q + 11586 q + 14295 q 185 184 183 182 + 17633 q + 21589 q + 26418 q + 32121 q 181 180 179 178 + 39043 q + 47146 q + 56923 q + 68311 q 177 176 175 174 + 81954 q + 97778 q + 116616 q + 138359 q 173 172 171 170 + 164097 q + 193680 q + 228475 q + 268310 q 169 168 167 166 + 314939 q + 368108 q + 429998 q + 500339 q 165 164 163 162 + 581767 q + 674027 q + 780317 q + 900338 q 161 160 159 158 + 1037975 q + 1192881 q + 1369717 q + 1568176 q 157 156 155 154 + 1793727 q + 2046108 q + 2331768 q + 2650466 q 153 152 151 150 + 3009736 q + 3409448 q + 3858318 q + 4356264 q 149 148 147 146 + 4913438 q + 5529827 q + 6216988 q + 6975239 q 145 144 143 142 + 7817553 q + 8744569 q + 9770866 q + 10897429 q 141 140 139 + 12140610 q + 13501655 q + 14998890 q 138 137 136 + 16633898 q + 18426935 q + 20380040 q 135 134 133 + 22515440 q + 24835756 q + 27365186 q 132 131 130 + 30106816 q + 33086997 q + 36309257 q 129 128 127 + 39802094 q + 43569469 q + 47641979 q 126 125 124 + 52023966 q + 56747933 q + 61818843 q 123 122 121 + 67270764 q + 73109255 q + 79369911 q 120 119 118 + 86058371 q + 93211956 q + 100836034 q 117 116 115 + 108969352 q + 117617026 q + 126818644 q 114 113 112 + 136579059 q + 146938042 q + 157899944 q 111 110 109 + 169504544 q + 181755119 q + 194691194 q 108 107 106 + 208314137 q + 222662827 q + 237736488 q 105 104 103 + 253572612 q + 270167899 q + 287557385 q 102 101 100 + 305735102 q + 324732935 q + 344541191 q 99 98 97 + 365188561 q + 386660122 q + 408980917 q 96 95 94 + 432130780 q + 456129503 q + 480951135 q 93 92 91 + 506609008 q + 533071314 q + 560344038 q 90 89 88 + 588388129 q + 617201992 q + 646737638 q 87 86 85 + 676985680 q + 707888960 q + 739428320 q 84 83 82 + 771537535 q + 804185500 q + 837296870 q 81 80 79 + 870828504 q + 904694097 q + 938838079 q 78 77 76 + 973161658 q + 1007596765 q + 1042031772 q 75 74 73 + 1076384431 q + 1110530644 q + 1144371793 q 72 71 70 + 1177772276 q + 1210616901 q + 1242756855 q 69 68 67 + 1274061642 q + 1304368343 q + 1333531279 q 66 65 64 + 1361375506 q + 1387740034 q + 1412439254 q 63 62 61 + 1435298281 q + 1456123934 q + 1474731421 q 60 59 58 + 1490922322 q + 1504507006 q + 1515286584 q 57 56 55 + 1523073750 q + 1527676629 q + 1528916771 q 54 53 52 + 1526620264 q + 1520627947 q + 1510794264 q 51 50 49 + 1496992773 q + 1479120030 q + 1457097502 q 48 47 46 + 1430878543 q + 1400448575 q + 1365833802 q 45 44 43 + 1327098847 q + 1284357698 q + 1237768379 q 42 41 40 + 1187544603 q + 1133948133 q + 1077298805 q 39 38 37 + 1017966271 q + 956375699 q + 892998945 q 36 35 34 + 828354613 q + 762997954 q + 697516168 q 33 32 31 + 632516090 q + 568613740 q + 506420558 q 30 29 28 + 446528827 q + 389496069 q + 335826985 q 27 26 25 + 285958476 q + 240243351 q + 198936475 q 24 23 22 21 + 162185186 q + 130025254 q + 102378147 q + 79058363 q 20 19 18 17 + 59786015 q + 44203428 q + 31896187 q + 22417537 q 16 15 14 13 + 15312808 q + 10140663 q + 6492051 q + 4004941 q 12 11 10 9 + 2371705 q + 1341951 q + 721468 q + 366127 q 8 7 6 5 4 + 173820 q + 76292 q + 30516 q + 10897 q + 3349 q 3 2 240 238 237 236 + 833 q + 153 q + 18 q + 1, q + q + 2 q + 4 q 235 234 233 232 231 230 + 7 q + 12 q + 17 q + 26 q + 38 q + 57 q 229 228 227 226 225 + 79 q + 111 q + 155 q + 212 q + 293 q 224 223 222 221 220 + 387 q + 525 q + 689 q + 919 q + 1191 q 219 218 217 216 215 + 1566 q + 2006 q + 2610 q + 3305 q + 4251 q 214 213 212 211 210 + 5331 q + 6773 q + 8432 q + 10608 q + 13105 q 209 208 207 206 + 16325 q + 20018 q + 24725 q + 30126 q 205 204 203 202 + 36930 q + 44700 q + 54383 q + 65462 q 201 200 199 198 + 79099 q + 94727 q + 113738 q + 135475 q 197 196 195 194 + 161735 q + 191713 q + 227615 q + 268547 q 193 192 191 190 + 317182 q + 372567 q + 437885 q + 512167 q 189 188 187 186 + 599141 q + 697908 q + 812864 q + 943084 q 185 184 183 182 + 1093852 q + 1264271 q + 1460451 q + 1681839 q 181 180 179 178 + 1935411 q + 2220923 q + 2546337 q + 2911950 q 177 176 175 174 + 3326896 q + 3792062 q + 4317793 q + 4905672 q 173 172 171 170 + 5567555 q + 6306053 q + 7134328 q + 8056373 q 169 168 167 166 + 9086921 q + 10231276 q + 11506142 q + 12918429 q 165 164 163 + 14486765 q + 16220063 q + 18138964 q 162 161 160 + 20254686 q + 22590129 q + 25159101 q 159 158 157 + 27986682 q + 31089844 q + 34496182 q 156 155 154 + 38225625 q + 42308760 q + 46768769 q 153 152 151 + 51639170 q + 56947139 q + 62729021 q 150 149 148 + 69015969 q + 75847464 q + 83259076 q 147 146 145 + 91293552 q + 99991022 q + 109397367 q 144 143 142 + 119557170 q + 130519945 q + 142335141 q 141 140 139 + 155055325 q + 168735013 q + 183429673 q 138 137 136 + 199198709 q + 216100818 q + 234199908 q 135 134 133 + 253557554 q + 274242185 q + 296317710 q 132 131 130 + 319856737 q + 344925206 q + 371599772 q 129 128 127 + 399947063 q + 430047685 q + 461968967 q 126 125 124 + 495793583 q + 531588928 q + 569439482 q 123 122 121 + 609411357 q + 651590850 q + 696040580 q 120 119 118 + 742847101 q + 792069107 q + 843792231 q 117 116 115 + 898070018 q + 954985435 q + 1014585106 q 114 113 112 + 1076947442 q + 1142110790 q + 1210148371 q 111 110 109 + 1281087203 q + 1354993823 q + 1431881604 q 108 107 106 + 1511807898 q + 1594772122 q + 1680819634 q 105 104 103 + 1769933174 q + 1862143629 q + 1957415217 q 102 101 100 + 2055763149 q + 2157129267 q + 2261511069 q 99 98 97 + 2368825598 q + 2479049872 q + 2592075560 q 96 95 94 + 2707854857 q + 2826251665 q + 2947190769 q 93 92 91 + 3070505769 q + 3196093734 q + 3323753393 q 90 89 88 + 3453350643 q + 3584647785 q + 3717477022 q 87 86 85 + 3851563707 q + 3986702127 q + 4122577712 q 84 83 82 + 4258944427 q + 4395445409 q + 4531794660 q 81 80 79 + 4667589939 q + 4802501967 q + 4936081770 q 78 77 76 + 5067954840 q + 5197627880 q + 5324678430 q 75 74 73 + 5448567931 q + 5568826925 q + 5684871983 q 72 71 70 + 5796191636 q + 5902158889 q + 6002222089 q 69 68 67 + 6095718025 q + 6182060387 q + 6260559686 q 66 65 64 + 6330604191 q + 6391489765 q + 6442593155 q 63 62 61 + 6483212421 q + 6512734601 q + 6530481562 q 60 59 58 + 6535872846 q + 6528282694 q + 6507193412 q 57 56 55 + 6472068614 q + 6422488609 q + 6358042535 q 54 53 52 + 6278453164 q + 6183479509 q + 6073032756 q 51 50 49 + 5947089373 q + 5805795124 q + 5649391112 q 48 47 46 + 5478301785 q + 5293074263 q + 5094447743 q 45 44 43 + 4883302639 q + 4660715624 q + 4427910961 q 42 41 40 + 4186302448 q + 3937444314 q + 3683055941 q 39 38 37 + 3424974819 q + 3165159983 q + 2905645665 q 36 35 34 + 2648525081 q + 2395901019 q + 2149857085 q 33 32 31 + 1912403384 q + 1685437410 q + 1470690445 q 30 29 28 + 1269684441 q + 1083683729 q + 913655642 q 27 26 25 + 760239526 q + 623724494 q + 504039937 q 24 23 22 + 400765362 q + 313153378 q + 240166761 q 21 20 19 18 + 180534432 q + 132816237 q + 95472760 q + 66936802 q 17 16 15 14 + 45681919 q + 30280125 q + 19445128 q + 12062757 q 13 12 11 10 + 7204920 q + 4127170 q + 2256525 q + 1170965 q 9 8 7 6 5 + 572738 q + 261615 q + 110279 q + 42262 q + 14400 q 4 3 2 ] + 4200 q + 987 q + 171 q + 19 q + 1] Note: this gives us the following enumerating function for areas under such paths of length 0 through 20 2 / 5 4 3 2 \ 3 1 + x + (q + 1) x + \q + q + q + q + 2 q + 1/ x / 9 8 7 6 5 4 3 2 + \q + q + 3 q + 2 q + 4 q + 4 q + 3 q + 3 q + 3 q + 1 \ 4 / 15 13 12 11 10 9 8 7 / x + \q + q + 2 q + 4 q + 6 q + 8 q + 9 q + 11 q 6 5 4 3 2 \ 5 / 21 + 10 q + 12 q + 10 q + 7 q + 6 q + 4 q + 1/ x + \q 20 19 18 17 16 15 14 + q + 2 q + 4 q + 4 q + 7 q + 10 q + 14 q 13 12 11 10 9 8 7 + 17 q + 24 q + 26 q + 33 q + 34 q + 36 q + 34 q 6 5 4 3 2 \ 6 / 28 + 31 q + 29 q + 21 q + 14 q + 10 q + 5 q + 1/ x + \q 27 26 25 24 23 22 21 + 2 q + 4 q + 5 q + 9 q + 11 q + 16 q + 20 q 20 19 18 17 16 15 14 + 28 q + 34 q + 46 q + 53 q + 68 q + 77 q + 90 q 13 12 11 10 9 8 + 98 q + 112 q + 115 q + 120 q + 114 q + 107 q 7 6 5 4 3 2 \ 7 + 91 q + 77 q + 61 q + 40 q + 25 q + 15 q + 6 q + 1/ x + / 38 37 36 35 34 33 32 31 \q + q + 2 q + 2 q + 6 q + 6 q + 13 q + 16 q 30 29 28 27 26 25 + 27 q + 33 q + 47 q + 56 q + 75 q + 92 q 24 23 22 21 20 19 + 116 q + 136 q + 163 q + 189 q + 225 q + 256 q 18 17 16 15 14 13 + 289 q + 317 q + 350 q + 374 q + 393 q + 403 q 12 11 10 9 8 7 + 406 q + 390 q + 363 q + 322 q + 273 q + 216 q 6 5 4 3 2 \ 8 / 48 + 167 q + 117 q + 71 q + 41 q + 21 q + 7 q + 1/ x + \q 47 46 45 44 43 42 41 + q + 3 q + 3 q + 7 q + 8 q + 14 q + 18 q 40 39 38 37 36 35 + 28 q + 37 q + 53 q + 69 q + 93 q + 118 q 34 33 32 31 30 29 + 154 q + 186 q + 238 q + 284 q + 345 q + 408 q 28 27 26 25 24 23 + 481 q + 558 q + 641 q + 731 q + 825 q + 918 q 22 21 20 19 18 + 1014 q + 1104 q + 1199 q + 1284 q + 1347 q 17 16 15 14 13 + 1405 q + 1436 q + 1442 q + 1414 q + 1355 q 12 11 10 9 8 7 + 1260 q + 1128 q + 972 q + 804 q + 629 q + 466 q 6 5 4 3 2 \ 9 / + 330 q + 210 q + 119 q + 63 q + 28 q + 8 q + 1/ x + \ 60 58 57 56 55 54 53 52 q + q + 2 q + 4 q + 7 q + 12 q + 17 q + 25 q 51 50 49 48 47 46 + 35 q + 49 q + 66 q + 86 q + 115 q + 148 q 45 44 43 42 41 40 + 196 q + 242 q + 314 q + 382 q + 481 q + 578 q 39 38 37 36 35 + 707 q + 836 q + 1007 q + 1169 q + 1380 q 34 33 32 31 30 + 1577 q + 1818 q + 2058 q + 2337 q + 2607 q 29 28 27 26 25 + 2908 q + 3193 q + 3509 q + 3795 q + 4111 q 24 23 22 21 20 + 4371 q + 4642 q + 4859 q + 5064 q + 5207 q 19 18 17 16 15 + 5300 q + 5290 q + 5230 q + 5057 q + 4797 q 14 13 12 11 10 + 4436 q + 3996 q + 3485 q + 2928 q + 2368 q 9 8 7 6 5 4 + 1833 q + 1341 q + 932 q + 609 q + 358 q + 190 q 3 2 \ 10 / 72 71 70 69 + 92 q + 36 q + 9 q + 1/ x + \q + q + 2 q + 4 q 68 67 66 65 64 63 62 + 5 q + 9 q + 14 q + 20 q + 29 q + 45 q + 59 q 61 60 59 58 57 56 + 85 q + 112 q + 154 q + 196 q + 261 q + 326 q 55 54 53 52 51 50 + 422 q + 521 q + 660 q + 800 q + 994 q + 1189 q 49 48 47 46 45 + 1449 q + 1719 q + 2060 q + 2414 q + 2853 q 44 43 42 41 40 + 3297 q + 3844 q + 4388 q + 5049 q + 5707 q 39 38 37 36 35 + 6477 q + 7237 q + 8111 q + 8965 q + 9927 q 34 33 32 31 30 + 10852 q + 11868 q + 12838 q + 13869 q + 14835 q 29 28 27 26 25 + 15825 q + 16710 q + 17587 q + 18314 q + 19005 q 24 23 22 21 20 + 19490 q + 19873 q + 20022 q + 19997 q + 19713 q 19 18 17 16 15 + 19170 q + 18324 q + 17248 q + 15883 q + 14307 q 14 13 12 11 10 + 12549 q + 10698 q + 8818 q + 7002 q + 5347 q 9 8 7 6 5 4 + 3895 q + 2685 q + 1754 q + 1066 q + 585 q + 291 q 3 2 \ 11 / 85 84 83 + 129 q + 45 q + 10 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q 82 81 80 79 78 77 76 + 5 q + 10 q + 13 q + 22 q + 28 q + 44 q + 55 q 75 74 73 72 71 70 + 84 q + 105 q + 154 q + 195 q + 267 q + 335 q 69 68 67 66 65 64 + 451 q + 558 q + 727 q + 894 q + 1129 q + 1371 q 63 62 61 60 59 + 1707 q + 2055 q + 2506 q + 2985 q + 3588 q 58 57 56 55 54 + 4235 q + 5020 q + 5865 q + 6868 q + 7957 q 53 52 51 50 49 + 9211 q + 10568 q + 12113 q + 13770 q + 15626 q 48 47 46 45 44 + 17617 q + 19789 q + 22111 q + 24618 q + 27262 q 43 42 41 40 39 + 30089 q + 33030 q + 36140 q + 39328 q + 42641 q 38 37 36 35 34 + 45994 q + 49426 q + 52848 q + 56261 q + 59581 q 33 32 31 30 29 + 62817 q + 65882 q + 68725 q + 71287 q + 73487 q 28 27 26 25 24 + 75291 q + 76611 q + 77384 q + 77545 q + 77020 q 23 22 21 20 19 + 75757 q + 73708 q + 70858 q + 67195 q + 62714 q 18 17 16 15 14 + 57528 q + 51782 q + 45577 q + 39153 q + 32719 q 13 12 11 10 9 + 26530 q + 20778 q + 15672 q + 11346 q + 7819 q 8 7 6 5 4 3 + 5102 q + 3141 q + 1788 q + 922 q + 430 q + 175 q 2 \ 12 / 101 100 99 98 97 + 55 q + 11 q + 1/ x + \q + q + 2 q + 2 q + 6 q 96 95 94 93 92 91 90 + 7 q + 14 q + 18 q + 31 q + 41 q + 64 q + 83 q 89 88 87 86 85 84 + 122 q + 157 q + 218 q + 279 q + 374 q + 475 q 83 82 81 80 79 + 623 q + 781 q + 1003 q + 1247 q + 1576 q 78 77 76 75 74 + 1935 q + 2404 q + 2925 q + 3582 q + 4313 q 73 72 71 70 69 + 5213 q + 6224 q + 7426 q + 8780 q + 10370 q 68 67 66 65 64 + 12146 q + 14202 q + 16490 q + 19109 q + 22011 q 63 62 61 60 59 + 25280 q + 28890 q + 32905 q + 37332 q + 42202 q 58 57 56 55 54 + 47507 q + 53289 q + 59567 q + 66356 q + 73668 q 53 52 51 50 49 + 81458 q + 89802 q + 98622 q + 107991 q + 117786 q 48 47 46 45 + 128105 q + 138761 q + 149887 q + 161285 q 44 43 42 41 + 173032 q + 184890 q + 196949 q + 208975 q 40 39 38 37 + 221008 q + 232754 q + 244264 q + 255211 q 36 35 34 33 + 265678 q + 275239 q + 283948 q + 291395 q 32 31 30 29 + 297634 q + 302202 q + 305181 q + 306103 q 28 27 26 25 + 305060 q + 301651 q + 295966 q + 287712 q 24 23 22 21 + 277024 q + 263743 q + 248108 q + 230230 q 20 19 18 17 + 210436 q + 189057 q + 166723 q + 143988 q 16 15 14 13 12 + 121477 q + 99873 q + 79800 q + 61781 q + 46162 q 11 10 9 8 7 + 33192 q + 22860 q + 14968 q + 9274 q + 5397 q 6 5 4 3 2 \ 13 + 2894 q + 1408 q + 616 q + 231 q + 66 q + 12 q + 1/ x + / 117 116 115 114 113 112 111 \q + q + 3 q + 3 q + 7 q + 8 q + 15 q 110 109 108 107 106 105 + 20 q + 33 q + 44 q + 66 q + 89 q + 126 q 104 103 102 101 100 + 171 q + 236 q + 309 q + 415 q + 538 q 99 98 97 96 95 + 698 q + 897 q + 1145 q + 1450 q + 1814 q 94 93 92 91 90 + 2273 q + 2807 q + 3480 q + 4249 q + 5203 q 89 88 87 86 85 + 6292 q + 7627 q + 9125 q + 10967 q + 13010 q 84 83 82 81 80 + 15484 q + 18217 q + 21496 q + 25101 q + 29369 q 79 78 77 76 75 + 34056 q + 39526 q + 45508 q + 52424 q + 59943 q 74 73 72 71 70 + 68577 q + 77918 q + 88524 q + 99948 q + 112811 q 69 68 67 66 + 126611 q + 141997 q + 158468 q + 176635 q 65 64 63 62 + 195989 q + 217196 q + 239632 q + 264051 q 61 60 59 58 + 289734 q + 317462 q + 346486 q + 377516 q 57 56 55 54 + 409831 q + 444123 q + 479580 q + 516907 q 53 52 51 50 + 555137 q + 595092 q + 635684 q + 677717 q 49 48 47 46 + 720045 q + 763339 q + 806478 q + 850059 q 45 44 43 42 + 892918 q + 935586 q + 976733 q + 1016907 q 41 40 39 38 + 1054737 q + 1090598 q + 1123201 q + 1152717 q 37 36 35 34 + 1177956 q + 1198940 q + 1214497 q + 1224626 q 33 32 31 30 + 1228215 q + 1225289 q + 1214838 q + 1196989 q 29 28 27 26 + 1171005 q + 1137076 q + 1094882 q + 1044822 q 25 24 23 22 + 987038 q + 922337 q + 851317 q + 775330 q 21 20 19 18 + 695658 q + 613954 q + 532011 q + 451895 q 17 16 15 14 + 375418 q + 304342 q + 240165 q + 184008 q 13 12 11 10 9 + 136444 q + 97571 q + 67068 q + 44077 q + 27513 q 8 7 6 5 4 3 + 16227 q + 8954 q + 4543 q + 2091 q + 859 q + 298 q 2 \ 14 / 135 133 132 131 + 78 q + 13 q + 1/ x + \q + q + 2 q + 4 q 130 129 128 127 126 125 + 7 q + 12 q + 17 q + 26 q + 38 q + 57 q 124 123 122 121 120 + 78 q + 108 q + 148 q + 200 q + 273 q 119 118 117 116 115 + 356 q + 475 q + 618 q + 809 q + 1037 q 114 113 112 111 110 + 1337 q + 1688 q + 2150 q + 2680 q + 3371 q 109 108 107 106 105 + 4155 q + 5155 q + 6294 q + 7724 q + 9345 q 104 103 102 101 + 11352 q + 13615 q + 16386 q + 19501 q 100 99 98 97 96 + 23272 q + 27484 q + 32538 q + 38163 q + 44837 q 95 94 93 92 91 + 52258 q + 60954 q + 70585 q + 81794 q + 94157 q 90 89 88 87 + 108412 q + 124069 q + 141976 q + 161570 q 86 85 84 83 + 183828 q + 208088 q + 235403 q + 265075 q 82 81 80 79 + 298271 q + 334162 q + 374052 q + 417000 q 78 77 76 75 + 464392 q + 515263 q + 571003 q + 630582 q 74 73 72 71 + 695438 q + 764486 q + 839198 q + 918360 q 70 69 68 67 + 1003530 q + 1093278 q + 1189284 q + 1290025 q 66 65 64 63 + 1397045 q + 1508835 q + 1626821 q + 1749377 q 62 61 60 59 + 1877963 q + 2010755 q + 2149159 q + 2291163 q 58 57 56 55 + 2438064 q + 2587858 q + 2741633 q + 2897235 q 54 53 52 51 + 3055489 q + 3214185 q + 3374151 q + 3532798 q 50 49 48 47 + 3690891 q + 3845562 q + 3997334 q + 4143395 q 46 45 44 43 + 4283892 q + 4415955 q + 4539320 q + 4651073 q 42 41 40 39 + 4750859 q + 4835730 q + 4905027 q + 4955958 q 38 37 36 35 + 4987689 q + 4997851 q + 4985447 q + 4948518 q 34 33 32 31 + 4886327 q + 4797496 q + 4681922 q + 4538973 q 30 29 28 27 + 4369305 q + 4173437 q + 3952936 q + 3709741 q 26 25 24 23 + 3446633 q + 3167013 q + 2875068 q + 2575382 q 22 21 20 19 + 2273532 q + 1975060 q + 1685732 q + 1411221 q 18 17 16 15 + 1156713 q + 926331 q + 723184 q + 549076 q 14 13 12 11 + 404369 q + 287927 q + 197552 q + 130122 q 10 9 8 7 6 + 81821 q + 48818 q + 27468 q + 14413 q + 6943 q 5 4 3 2 \ 15 / 153 + 3029 q + 1170 q + 377 q + 91 q + 14 q + 1/ x + \q 152 151 150 149 148 147 146 + q + 2 q + 4 q + 5 q + 9 q + 14 q + 21 q 145 144 143 142 141 140 + 31 q + 49 q + 64 q + 96 q + 129 q + 186 q 139 138 137 136 135 + 242 q + 339 q + 435 q + 592 q + 755 q 134 133 132 131 130 + 1001 q + 1261 q + 1650 q + 2056 q + 2639 q 129 128 127 126 125 + 3271 q + 4139 q + 5090 q + 6363 q + 7759 q 124 123 122 121 + 9592 q + 11615 q + 14205 q + 17089 q 120 119 118 117 + 20700 q + 24725 q + 29692 q + 35248 q 116 115 114 113 + 41978 q + 49522 q + 58542 q + 68641 q 112 111 110 109 + 80577 q + 93942 q + 109553 q + 127024 q 108 107 106 105 + 147228 q + 169791 q + 195657 q + 224488 q 104 103 102 101 + 257272 q + 293731 q + 334869 q + 380493 q 100 99 98 97 + 431616 q + 488143 q + 551132 q + 620479 q 96 95 94 93 + 697312 q + 781607 q + 874500 q + 976046 q 92 91 90 89 + 1087336 q + 1208575 q + 1340764 q + 1484186 q 88 87 86 85 + 1639838 q + 1808025 q + 1989754 q + 2185317 q 84 83 82 81 + 2395623 q + 2621036 q + 2862375 q + 3119965 q 80 79 78 77 + 3394519 q + 3686358 q + 3996006 q + 4323742 q 76 75 74 73 + 4669905 q + 5034738 q + 5418294 q + 5820757 q 72 71 70 69 + 6241822 q + 6681603 q + 7139526 q + 7615416 q 68 67 66 65 + 8108459 q + 8618257 q + 9143490 q + 9683734 q 64 63 62 61 + 10237055 q + 10802796 q + 11378559 q + 11963461 q 60 59 58 57 + 12554501 q + 13150385 q + 13747609 q + 14344621 q 56 55 54 53 + 14937269 q + 15523572 q + 16098547 q + 16659995 q 52 51 50 49 + 17202512 q + 17723082 q + 18215987 q + 18677508 q 48 47 46 45 + 19101437 q + 19483774 q + 19817918 q + 20099652 q 44 43 42 41 + 20322065 q + 20480883 q + 20569667 q + 20584269 q 40 39 38 37 + 20519044 q + 20370439 q + 20133910 q + 19807548 q 36 35 34 33 + 19388364 q + 18876574 q + 18271788 q + 17576814 q 32 31 30 29 + 16794829 q + 15931615 q + 14994201 q + 13992043 q 28 27 26 25 + 12936081 q + 11839602 q + 10717190 q + 9585326 q 24 23 22 21 + 8461089 q + 7362292 q + 6306839 q + 5311186 q 20 19 18 17 + 4390115 q + 3555890 q + 2817231 q + 2178796 q 16 15 14 13 + 1641255 q + 1201360 q + 852184 q + 583938 q 12 11 10 9 8 + 385217 q + 243643 q + 146922 q + 83971 q + 45164 q 7 6 5 4 3 2 + 22594 q + 10361 q + 4291 q + 1561 q + 469 q + 105 q \ 16 / 172 171 170 169 168 + 15 q + 1/ x + \q + 2 q + 4 q + 5 q + 10 q 167 166 165 164 163 162 + 13 q + 22 q + 29 q + 46 q + 60 q + 92 q 161 160 159 158 157 + 119 q + 175 q + 228 q + 318 q + 412 q 156 155 154 153 152 + 569 q + 727 q + 976 q + 1243 q + 1626 q 151 150 149 148 147 + 2051 q + 2649 q + 3310 q + 4205 q + 5214 q 146 145 144 143 142 + 6534 q + 8037 q + 9970 q + 12165 q + 14937 q 141 140 139 138 + 18106 q + 22031 q + 26517 q + 32011 q 137 136 135 134 + 38286 q + 45861 q + 54526 q + 64844 q 133 132 131 130 + 76644 q + 90568 q + 106428 q + 124985 q 129 128 127 126 + 146100 q + 170583 q + 198352 q + 230328 q 125 124 123 122 + 266474 q + 307830 q + 354440 q + 407401 q 121 120 119 118 + 466908 q + 534152 q + 609433 q + 694054 q 117 116 115 114 + 788471 q + 894010 q + 1011392 q + 1142017 q 113 112 111 110 + 1286751 q + 1447076 q + 1624099 q + 1819301 q 109 108 107 106 + 2034129 q + 2270048 q + 2528738 q + 2811643 q 105 104 103 102 + 3120816 q + 3457599 q + 3824365 q + 4222364 q 101 100 99 98 + 4654259 q + 5121174 q + 5626139 q + 6170038 q 97 96 95 94 + 6756157 q + 7385227 q + 8060751 q + 8783161 q 93 92 91 90 + 9556289 q + 10380059 q + 11258576 q + 12191332 q 89 88 87 86 + 13182560 q + 14231276 q + 15341698 q + 16512289 q 85 84 83 82 + 17747231 q + 19044475 q + 20407988 q + 21834877 q 81 80 79 78 + 23329020 q + 24886657 q + 26511434 q + 28198632 q 77 76 75 74 + 29951425 q + 31764114 q + 33639355 q + 35570268 q 73 72 71 70 + 37558993 q + 39597357 q + 41686825 q + 43817800 q 69 68 67 66 + 45990963 q + 48195444 q + 50430804 q + 52684694 q 65 64 63 62 + 54955691 q + 57229778 q + 59504396 q + 61763775 q 61 60 59 58 + 64004330 q + 66208345 q + 68370762 q + 70472363 q 57 56 55 54 + 72506723 q + 74452863 q + 76302769 q + 78033935 q 53 52 51 50 + 79637381 q + 81089500 q + 82379592 q + 83483699 q 49 48 47 46 + 84390172 q + 85075439 q + 85527758 q + 85724635 q 45 44 43 42 + 85655309 q + 85299656 q + 84649409 q + 83688727 q 41 40 39 38 + 82412934 q + 80812299 q + 78887612 q + 76637103 q 37 36 35 34 + 74069502 q + 71192396 q + 68024043 q + 64583274 q 33 32 31 30 + 60898821 q + 57001634 q + 52930761 q + 48728547 q 29 28 27 26 + 44443684 q + 40127582 q + 35835567 q + 31623722 q 25 24 23 22 + 27548641 q + 23663838 q + 20019287 q + 16658221 q 21 20 19 18 + 13614638 q + 10912340 q + 8563513 q + 6567883 q 17 16 15 14 + 4913275 q + 3577205 q + 2528770 q + 1730868 q 13 12 11 10 + 1143477 q + 726579 q + 442095 q + 256168 q 9 8 7 6 5 + 140504 q + 72372 q + 34596 q + 15134 q + 5958 q 4 3 2 \ 17 / 194 193 + 2045 q + 575 q + 120 q + 16 q + 1/ x + \q + q 192 191 190 189 188 187 + 2 q + 2 q + 6 q + 7 q + 14 q + 18 q 186 185 184 183 182 181 + 32 q + 42 q + 66 q + 86 q + 130 q + 171 q 180 179 178 177 176 + 245 q + 319 q + 439 q + 567 q + 766 q 175 174 173 172 171 + 983 q + 1297 q + 1651 q + 2143 q + 2712 q 170 169 168 167 166 + 3464 q + 4348 q + 5486 q + 6831 q + 8526 q 165 164 163 162 + 10541 q + 13019 q + 15971 q + 19552 q 161 160 159 158 + 23811 q + 28910 q + 34971 q + 42133 q 157 156 155 154 + 50640 q + 60604 q + 72376 q + 86055 q 153 152 151 150 + 102171 q + 120776 q + 142587 q + 167610 q 149 148 147 146 + 196826 q + 230156 q + 268895 q + 312887 q 145 144 143 142 + 363767 q + 421305 q + 487498 q + 562071 q 141 140 139 138 + 647502 q + 743346 q + 852625 q + 974818 q 137 136 135 134 + 1113478 q + 1268001 q + 1442584 q + 1636503 q 133 132 131 130 + 1854640 q + 2096193 q + 2366716 q + 2665402 q 129 128 127 126 + 2998579 q + 3365292 q + 3772732 q + 4219880 q 125 124 123 122 + 4714754 q + 5256324 q + 5853402 q + 6505015 q 121 120 119 118 + 7220815 q + 7999753 q + 8852368 q + 9777594 q 117 116 115 + 10786879 q + 11878984 q + 13066367 q 114 113 112 + 14347681 q + 15736024 q + 17230087 q 111 110 109 + 18843741 q + 20575507 q + 22439940 q 108 107 106 + 24435215 q + 26576571 q + 28861867 q 105 104 103 + 31307045 q + 33909191 q + 36684707 q 102 101 100 99 + 39630214 q + 42762321 q + 46076967 q + 49590910 q 98 97 96 95 + 53298839 q + 57217651 q + 61341024 q + 65685554 q 94 93 92 91 + 70243443 q + 75030775 q + 80038257 q + 85281302 q 90 89 88 87 + 90748898 q + 96455126 q + 102386952 q + 108557395 q 86 85 84 + 114951132 q + 121579500 q + 128424718 q 83 82 81 + 135495785 q + 142772566 q + 150261737 q 80 79 78 + 157940313 q + 165811942 q + 173850503 q 77 76 75 + 182056633 q + 190401004 q + 198880878 q 74 73 72 + 207463079 q + 216140875 q + 224877739 q 71 70 69 + 233662702 q + 242455352 q + 251239965 q 68 67 66 + 259972094 q + 268631084 q + 277168734 q 65 64 63 + 285559079 q + 293749389 q + 301708595 q 62 61 60 + 309379806 q + 316727202 q + 323689700 q 59 58 57 + 330226259 q + 336272864 q + 341784505 q 56 55 54 + 346694954 q + 350955805 q + 354500041 q 53 52 51 + 357278398 q + 359225055 q + 360291930 q 50 49 48 + 360417626 q + 359558316 q + 357661123 q 47 46 45 + 354690853 q + 350607749 q + 345390004 q 44 43 42 + 339015586 q + 331481982 q + 322790615 q 41 40 39 + 312963208 q + 302029572 q + 290040595 q 38 37 36 + 277058854 q + 263168408 q + 248466391 q 35 34 33 + 233070871 q + 217112936 q + 200742053 q 32 31 30 + 184118299 q + 167414801 q + 150810796 q 29 28 27 26 + 134491037 q + 118638249 q + 103430206 q + 89032425 q 25 24 23 22 + 75593049 q + 63235699 q + 52056280 q + 42116638 q 21 20 19 18 + 33442196 q + 26022062 q + 19810058 q + 14728140 q 17 16 15 14 + 10672521 q + 7521426 q + 5142749 q + 3401953 q 13 12 11 10 + 2170270 q + 1330359 q + 780016 q + 435038 q 9 8 7 6 5 + 229354 q + 113330 q + 51868 q + 21681 q + 8124 q 4 3 2 \ 18 / 216 215 + 2636 q + 696 q + 136 q + 17 q + 1/ x + \q + q 214 213 212 211 210 209 + 3 q + 3 q + 7 q + 8 q + 15 q + 20 q 208 207 206 205 204 203 + 33 q + 45 q + 68 q + 93 q + 134 q + 182 q 202 201 200 199 198 + 256 q + 339 q + 464 q + 613 q + 815 q 197 196 195 194 193 + 1066 q + 1394 q + 1798 q + 2315 q + 2957 q 192 191 190 189 188 + 3757 q + 4753 q + 5974 q + 7488 q + 9324 q 187 186 185 184 + 11586 q + 14295 q + 17633 q + 21589 q 183 182 181 180 + 26418 q + 32121 q + 39043 q + 47146 q 179 178 177 176 + 56923 q + 68311 q + 81954 q + 97778 q 175 174 173 172 + 116616 q + 138359 q + 164097 q + 193680 q 171 170 169 168 + 228475 q + 268310 q + 314939 q + 368108 q 167 166 165 164 + 429998 q + 500339 q + 581767 q + 674027 q 163 162 161 160 + 780317 q + 900338 q + 1037975 q + 1192881 q 159 158 157 156 + 1369717 q + 1568176 q + 1793727 q + 2046108 q 155 154 153 152 + 2331768 q + 2650466 q + 3009736 q + 3409448 q 151 150 149 148 + 3858318 q + 4356264 q + 4913438 q + 5529827 q 147 146 145 144 + 6216988 q + 6975239 q + 7817553 q + 8744569 q 143 142 141 140 + 9770866 q + 10897429 q + 12140610 q + 13501655 q 139 138 137 + 14998890 q + 16633898 q + 18426935 q 136 135 134 + 20380040 q + 22515440 q + 24835756 q 133 132 131 + 27365186 q + 30106816 q + 33086997 q 130 129 128 + 36309257 q + 39802094 q + 43569469 q 127 126 125 + 47641979 q + 52023966 q + 56747933 q 124 123 122 + 61818843 q + 67270764 q + 73109255 q 121 120 119 + 79369911 q + 86058371 q + 93211956 q 118 117 116 + 100836034 q + 108969352 q + 117617026 q 115 114 113 + 126818644 q + 136579059 q + 146938042 q 112 111 110 + 157899944 q + 169504544 q + 181755119 q 109 108 107 + 194691194 q + 208314137 q + 222662827 q 106 105 104 + 237736488 q + 253572612 q + 270167899 q 103 102 101 + 287557385 q + 305735102 q + 324732935 q 100 99 98 + 344541191 q + 365188561 q + 386660122 q 97 96 95 + 408980917 q + 432130780 q + 456129503 q 94 93 92 + 480951135 q + 506609008 q + 533071314 q 91 90 89 + 560344038 q + 588388129 q + 617201992 q 88 87 86 + 646737638 q + 676985680 q + 707888960 q 85 84 83 + 739428320 q + 771537535 q + 804185500 q 82 81 80 + 837296870 q + 870828504 q + 904694097 q 79 78 77 + 938838079 q + 973161658 q + 1007596765 q 76 75 74 + 1042031772 q + 1076384431 q + 1110530644 q 73 72 71 + 1144371793 q + 1177772276 q + 1210616901 q 70 69 68 + 1242756855 q + 1274061642 q + 1304368343 q 67 66 65 + 1333531279 q + 1361375506 q + 1387740034 q 64 63 62 + 1412439254 q + 1435298281 q + 1456123934 q 61 60 59 + 1474731421 q + 1490922322 q + 1504507006 q 58 57 56 + 1515286584 q + 1523073750 q + 1527676629 q 55 54 53 + 1528916771 q + 1526620264 q + 1520627947 q 52 51 50 + 1510794264 q + 1496992773 q + 1479120030 q 49 48 47 + 1457097502 q + 1430878543 q + 1400448575 q 46 45 44 + 1365833802 q + 1327098847 q + 1284357698 q 43 42 41 + 1237768379 q + 1187544603 q + 1133948133 q 40 39 38 + 1077298805 q + 1017966271 q + 956375699 q 37 36 35 + 892998945 q + 828354613 q + 762997954 q 34 33 32 + 697516168 q + 632516090 q + 568613740 q 31 30 29 + 506420558 q + 446528827 q + 389496069 q 28 27 26 + 335826985 q + 285958476 q + 240243351 q 25 24 23 + 198936475 q + 162185186 q + 130025254 q 22 21 20 19 + 102378147 q + 79058363 q + 59786015 q + 44203428 q 18 17 16 15 + 31896187 q + 22417537 q + 15312808 q + 10140663 q 14 13 12 11 + 6492051 q + 4004941 q + 2371705 q + 1341951 q 10 9 8 7 6 + 721468 q + 366127 q + 173820 q + 76292 q + 30516 q 5 4 3 2 \ 19 / 240 + 10897 q + 3349 q + 833 q + 153 q + 18 q + 1/ x + \q 238 237 236 235 234 233 + q + 2 q + 4 q + 7 q + 12 q + 17 q 232 231 230 229 228 227 + 26 q + 38 q + 57 q + 79 q + 111 q + 155 q 226 225 224 223 222 + 212 q + 293 q + 387 q + 525 q + 689 q 221 220 219 218 217 + 919 q + 1191 q + 1566 q + 2006 q + 2610 q 216 215 214 213 212 + 3305 q + 4251 q + 5331 q + 6773 q + 8432 q 211 210 209 208 + 10608 q + 13105 q + 16325 q + 20018 q 207 206 205 204 + 24725 q + 30126 q + 36930 q + 44700 q 203 202 201 200 + 54383 q + 65462 q + 79099 q + 94727 q 199 198 197 196 + 113738 q + 135475 q + 161735 q + 191713 q 195 194 193 192 + 227615 q + 268547 q + 317182 q + 372567 q 191 190 189 188 + 437885 q + 512167 q + 599141 q + 697908 q 187 186 185 184 + 812864 q + 943084 q + 1093852 q + 1264271 q 183 182 181 180 + 1460451 q + 1681839 q + 1935411 q + 2220923 q 179 178 177 176 + 2546337 q + 2911950 q + 3326896 q + 3792062 q 175 174 173 172 + 4317793 q + 4905672 q + 5567555 q + 6306053 q 171 170 169 168 + 7134328 q + 8056373 q + 9086921 q + 10231276 q 167 166 165 + 11506142 q + 12918429 q + 14486765 q 164 163 162 + 16220063 q + 18138964 q + 20254686 q 161 160 159 + 22590129 q + 25159101 q + 27986682 q 158 157 156 + 31089844 q + 34496182 q + 38225625 q 155 154 153 + 42308760 q + 46768769 q + 51639170 q 152 151 150 + 56947139 q + 62729021 q + 69015969 q 149 148 147 + 75847464 q + 83259076 q + 91293552 q 146 145 144 + 99991022 q + 109397367 q + 119557170 q 143 142 141 + 130519945 q + 142335141 q + 155055325 q 140 139 138 + 168735013 q + 183429673 q + 199198709 q 137 136 135 + 216100818 q + 234199908 q + 253557554 q 134 133 132 + 274242185 q + 296317710 q + 319856737 q 131 130 129 + 344925206 q + 371599772 q + 399947063 q 128 127 126 + 430047685 q + 461968967 q + 495793583 q 125 124 123 + 531588928 q + 569439482 q + 609411357 q 122 121 120 + 651590850 q + 696040580 q + 742847101 q 119 118 117 + 792069107 q + 843792231 q + 898070018 q 116 115 114 + 954985435 q + 1014585106 q + 1076947442 q 113 112 111 + 1142110790 q + 1210148371 q + 1281087203 q 110 109 108 + 1354993823 q + 1431881604 q + 1511807898 q 107 106 105 + 1594772122 q + 1680819634 q + 1769933174 q 104 103 102 + 1862143629 q + 1957415217 q + 2055763149 q 101 100 99 + 2157129267 q + 2261511069 q + 2368825598 q 98 97 96 + 2479049872 q + 2592075560 q + 2707854857 q 95 94 93 + 2826251665 q + 2947190769 q + 3070505769 q 92 91 90 + 3196093734 q + 3323753393 q + 3453350643 q 89 88 87 + 3584647785 q + 3717477022 q + 3851563707 q 86 85 84 + 3986702127 q + 4122577712 q + 4258944427 q 83 82 81 + 4395445409 q + 4531794660 q + 4667589939 q 80 79 78 + 4802501967 q + 4936081770 q + 5067954840 q 77 76 75 + 5197627880 q + 5324678430 q + 5448567931 q 74 73 72 + 5568826925 q + 5684871983 q + 5796191636 q 71 70 69 + 5902158889 q + 6002222089 q + 6095718025 q 68 67 66 + 6182060387 q + 6260559686 q + 6330604191 q 65 64 63 + 6391489765 q + 6442593155 q + 6483212421 q 62 61 60 + 6512734601 q + 6530481562 q + 6535872846 q 59 58 57 + 6528282694 q + 6507193412 q + 6472068614 q 56 55 54 + 6422488609 q + 6358042535 q + 6278453164 q 53 52 51 + 6183479509 q + 6073032756 q + 5947089373 q 50 49 48 + 5805795124 q + 5649391112 q + 5478301785 q 47 46 45 + 5293074263 q + 5094447743 q + 4883302639 q 44 43 42 + 4660715624 q + 4427910961 q + 4186302448 q 41 40 39 + 3937444314 q + 3683055941 q + 3424974819 q 38 37 36 + 3165159983 q + 2905645665 q + 2648525081 q 35 34 33 + 2395901019 q + 2149857085 q + 1912403384 q 32 31 30 + 1685437410 q + 1470690445 q + 1269684441 q 29 28 27 + 1083683729 q + 913655642 q + 760239526 q 26 25 24 + 623724494 q + 504039937 q + 400765362 q 23 22 21 + 313153378 q + 240166761 q + 180534432 q 20 19 18 17 + 132816237 q + 95472760 q + 66936802 q + 45681919 q 16 15 14 13 + 30280125 q + 19445128 q + 12062757 q + 7204920 q 12 11 10 9 + 4127170 q + 2256525 q + 1170965 q + 572738 q 8 7 6 5 4 + 261615 q + 110279 q + 42262 q + 14400 q + 4200 q 3 2 \ 20 + 987 q + 171 q + 19 q + 1/ x